अवकल समीकरण $y\ dx + (x - y^2)dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-11
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दिया है, $y\ dx + (x - y^2) dy = 0$
$\Rightarrow y dx = (y^2 - x) dy$
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{x}{y}=y$
अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y} + Px = Q$ से तुलना करने पर,
$P=\frac{1}{y}, Q = y$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int\frac{1}{y} d y}$
$\Rightarrow IF = e^{\log |y|} = y ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$x \cdot IF=\int Q \times IF d y+C$
$\Rightarrow x y=\int(y \times y) d y+C$
$\Rightarrow x y=\int y^{2} d y+C$
$\Rightarrow x y=\frac{y^{3}}{3}+C$
$\Rightarrow x=\frac{y^{2}}{3}+\frac{C}{y}$
$\Rightarrow y dx = (y^2 - x) dy$
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{x}{y}=y$
अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y} + Px = Q$ से तुलना करने पर,
$P=\frac{1}{y}, Q = y$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int\frac{1}{y} d y}$
$\Rightarrow IF = e^{\log |y|} = y ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$x \cdot IF=\int Q \times IF d y+C$
$\Rightarrow x y=\int(y \times y) d y+C$
$\Rightarrow x y=\int y^{2} d y+C$
$\Rightarrow x y=\frac{y^{3}}{3}+C$
$\Rightarrow x=\frac{y^{2}}{3}+\frac{C}{y}$
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