अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}$, जहाँ $y = 0$ तथा $x = 1$
$\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}$, जहाँ $y = 0$ तथा $x = 1$
Exercise-9.6-14
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दिया है, $\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}$
$(1 + x^2)$ से भाग करने पर, $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P=\frac{2 x}{1+x^{2}}, Q=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = {e^{\int {\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}dx} }}$
मान लीजिए $1 + x^2 = t \Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore IF = {e^{\int {\frac{{2x}}{t} \times \frac{{dt}}{{2x}}} }} \Rightarrow IF = e^{\log |t|} = t$
$\Rightarrow IF = 1 + x^2 ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times {IF} d x+C$
$\Rightarrow y\left(1+x^{2}\right) =\int\left[\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \times\left(1+x^{2}\right)\right] d x+C$
$\Rightarrow y\left(1+x^{2}\right) =\int \frac{1}{1+x^{2}} d x+C$
$\Rightarrow y(1 + x^2) = \tan^{-1}x + C ...(ii)$
अब, $y = 0$ तथा $x = 1,$ तो
$0(1 + 1) = \tan^{-1}(1) + C \Rightarrow 0=\frac{\pi}{4}+C \Rightarrow C=-\frac{\pi}{4}$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$(1 + x^2)y = \tan^{-1}x - \frac{\pi}{4}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
$(1 + x^2)$ से भाग करने पर, $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P=\frac{2 x}{1+x^{2}}, Q=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = {e^{\int {\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}dx} }}$
मान लीजिए $1 + x^2 = t \Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore IF = {e^{\int {\frac{{2x}}{t} \times \frac{{dt}}{{2x}}} }} \Rightarrow IF = e^{\log |t|} = t$
$\Rightarrow IF = 1 + x^2 ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times {IF} d x+C$
$\Rightarrow y\left(1+x^{2}\right) =\int\left[\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \times\left(1+x^{2}\right)\right] d x+C$
$\Rightarrow y\left(1+x^{2}\right) =\int \frac{1}{1+x^{2}} d x+C$
$\Rightarrow y(1 + x^2) = \tan^{-1}x + C ...(ii)$
अब, $y = 0$ तथा $x = 1,$ तो
$0(1 + 1) = \tan^{-1}(1) + C \Rightarrow 0=\frac{\pi}{4}+C \Rightarrow C=-\frac{\pi}{4}$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$(1 + x^2)y = \tan^{-1}x - \frac{\pi}{4}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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