द्वितीय चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों का स्पर्श करते हैं।
example-25
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मान लीजिए, निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाला और द्वितीय चतुर्थांश में बना वृत्तों का कुल $C$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। इस कुल के किसी सदस्य के केंद्र बिंदु के निर्देशांक $(-a, a)$ हैं $($आकृति देखिए$)$।
`
कुल $C$ को निरूपित करने वाला समीकरण है:
$(x + a)^2 + (y - a)^2 = a^2 ...(i)$
अथवा $x^2 + y^2 + 2ax - 2ay + a^2 = 0 ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं:
$2x + 2y \frac{d y}{d x}$ + 2a - 2a $\frac{d y}{d x} = 0$
अथवा $x + y \frac{d y}{d x}$
$= a\left(\frac{d y}{d x}-1\right)$
अथवा $ a=\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}$
समीकरण $(i)$ में $a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
$\left[x+\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[y-\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$ = $\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
अथवा $[xy' - x + x + yy']^2 + [yy' - y - x - yy']^2 = [x + yy']^2$
अथवा $(x + y)^2y^{'2} + [x + y]^2 = [x + yy']^2$
अथवा $(x + y)^2[(y')^2 + 1] = [x + yy']^2$
जो दिए हुए वृत्तों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण है।
`कुल $C$ को निरूपित करने वाला समीकरण है:
$(x + a)^2 + (y - a)^2 = a^2 ...(i)$
अथवा $x^2 + y^2 + 2ax - 2ay + a^2 = 0 ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं:
$2x + 2y \frac{d y}{d x}$ + 2a - 2a $\frac{d y}{d x} = 0$
अथवा $x + y \frac{d y}{d x}$
$= a\left(\frac{d y}{d x}-1\right)$
अथवा $ a=\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}$
समीकरण $(i)$ में $a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
$\left[x+\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[y-\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$ = $\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
अथवा $[xy' - x + x + yy']^2 + [yy' - y - x - yy']^2 = [x + yy']^2$
अथवा $(x + y)^2y^{'2} + [x + y]^2 = [x + yy']^2$
अथवा $(x + y)^2[(y')^2 + 1] = [x + yy']^2$
जो दिए हुए वृत्तों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण है।
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