अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x^{2}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-3
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दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x^{2}$ रैखिक है।
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर, $P = \frac{1}{x}$ तथा $Q = x^2$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{\frac{1}{x} d x}$
$\Rightarrow IF = e^{\log |x|} = x (\because e^{\log x} = x)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times IF d x+C$
$\Rightarrow y x=\int x^{3} d x+C$
$\Rightarrow y x=\frac{x^{4}}{4}+C$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर, $P = \frac{1}{x}$ तथा $Q = x^2$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{\frac{1}{x} d x}$
$\Rightarrow IF = e^{\log |x|} = x (\because e^{\log x} = x)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times IF d x+C$
$\Rightarrow y x=\int x^{3} d x+C$
$\Rightarrow y x=\frac{x^{4}}{4}+C$
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