बिंदु $(-4, 6),$ बिंदुओं $A(-6, 10)$ और $B(3, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?
example-7
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मान लीजिए $(-4, 6)$ रेखाखंड $AB$ को आंतरिक रूप से $m_1 : m_2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के प्रयोग से, हमें प्राप्त होता है:
$(-4, 6) = \left(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) ...(i)$
याद कीजिए कि यदि $(x, y) = (a, b)$ हो, तो $x = a$ और $y = b$ होता है।
अतः $-4 = \frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ और $6 = \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ है।
अब $-4 = \frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ से प्राप्त होता है:
$-4m_1 - 4m_2 = 3m_1 - 6m_2$
अर्थात् $7m_1 = 2m_2$
या $m_1 : m_2 = 2 : 7$
आपको इसकी जाँच कर लेनी चाहिए कि यह अनुपात $y-$निर्देशांक को भी संतुष्ट करता है।
अब $\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{-8 \frac{m_{1}}{m_{2}}+10}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}(m_2$ से ऊपर नीचे भाग देने पर$)$
$= \frac{-8 \times \frac{2}{7}+10}{\frac{2}{7}+1} = 6$
अतः बिंदु $(-4, 6),$ बिंदुओं $A(-6, 10)$ और $B(3, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2 : 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$(-4, 6) = \left(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) ...(i)$
याद कीजिए कि यदि $(x, y) = (a, b)$ हो, तो $x = a$ और $y = b$ होता है।
अतः $-4 = \frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ और $6 = \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ है।
अब $-4 = \frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ से प्राप्त होता है:
$-4m_1 - 4m_2 = 3m_1 - 6m_2$
अर्थात् $7m_1 = 2m_2$
या $m_1 : m_2 = 2 : 7$
आपको इसकी जाँच कर लेनी चाहिए कि यह अनुपात $y-$निर्देशांक को भी संतुष्ट करता है।
अब $\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{-8 \frac{m_{1}}{m_{2}}+10}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}(m_2$ से ऊपर नीचे भाग देने पर$)$
$= \frac{-8 \times \frac{2}{7}+10}{\frac{2}{7}+1} = 6$
अतः बिंदु $(-4, 6),$ बिंदुओं $A(-6, 10)$ और $B(3, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2 : 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
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