दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.1-5
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दिया गया वक्र एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(0, 0)$ है तथा $X-$अक्ष व $Y-$अक्ष के परित: सममित है।
$\therefore$ दीर्घवृत्त द्वारा घिरा क्षेत्रफल
$= 4 \times ($केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल$) \ (\because$ सममित द्वारा$)$
$=4 \times \int_{x=a}^{x=b}|y| d x$
$=4 \int_{0}^{2}|y| d x$$=4 \int_{0}^{2} \frac{3}{2} \sqrt{4-x^{2}} d x$
$\left(\because \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\right.,$ $\left.\therefore|y|=\frac{3}{2} \sqrt{4-x^{2}}\right)$
$=6 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2}-x^{2}} d x$$=6\left[\frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}}+\frac{2^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{2}$
$\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\right.$ $\left.=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]$
$= 6{0 + 2 \sin^{-1}(1) - 0} = 6 \times 2 \times\left(\frac{\pi}{2}\right)=6 \pi$ वर्ग इकाई
$\therefore$ दीर्घवृत्त द्वारा घिरा क्षेत्रफल
$= 4 \times ($केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल$) \ (\because$ सममित द्वारा$)$
$=4 \times \int_{x=a}^{x=b}|y| d x$
$=4 \int_{0}^{2}|y| d x$$=4 \int_{0}^{2} \frac{3}{2} \sqrt{4-x^{2}} d x$
$\left(\because \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\right.,$ $\left.\therefore|y|=\frac{3}{2} \sqrt{4-x^{2}}\right)$
$=6 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2}-x^{2}} d x$$=6\left[\frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}}+\frac{2^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{2}$
$\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\right.$ $\left.=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]$
$= 6{0 + 2 \sin^{-1}(1) - 0} = 6 \times 2 \times\left(\frac{\pi}{2}\right)=6 \pi$ वर्ग इकाई
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