क्षेत्र $ {(x, y) : 0 \leq y \leq x^{2 }+ 1, 0 \leq y \leq x + 1, 0 \leq x \leq 2}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
example-15
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आइए सर्वप्रथम हम उस क्षेत्र का रेखाचित्र तैयार करें जिसका हमें क्षेत्रफल ज्ञात करना है। यह क्षेत्र निम्नलिखित क्षेत्रों का मध्यवर्ती क्षेत्र है:
$A_{1 }= {(x, y) : 0 \leq y \leq x^{2 }+ 1}$
$A_{2 }= {(x, y) : 0 \leq y \leq x + 1}$
और $A_{3 }= {(x, y) : 0 \leq x \leq 2}$
वक्रों $ y = x^{2 }+ 1$ एवं $y = x + 1$ के प्रतिच्छेद बिंदु $P(0, 1)$ एवं $Q(1, 2)$ हैं।
आकृति से, अभीष्ट क्षेत्र, छायांकित क्षेत्र $\text{OPQRSTO}$ है जिसका क्षेत्रफल
$=$ क्षेत्र $\text{OTQPO}$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $\text{TSRQT}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) d x+\int_{1}^{2}(x+1) d x$
$=\left[\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right]_{0}^{1}+\left[\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\right]_{1}^{2}$
$=\left[\left(\frac{1}{3}+1\right)-0\right]$$+\left[(2+2)-\left(\frac{1}{2}+1\right)\right]=\frac{23}{6}$
$A_{1 }= {(x, y) : 0 \leq y \leq x^{2 }+ 1}$
$A_{2 }= {(x, y) : 0 \leq y \leq x + 1}$
और $A_{3 }= {(x, y) : 0 \leq x \leq 2}$
वक्रों $ y = x^{2 }+ 1$ एवं $y = x + 1$ के प्रतिच्छेद बिंदु $P(0, 1)$ एवं $Q(1, 2)$ हैं।
आकृति से, अभीष्ट क्षेत्र, छायांकित क्षेत्र $\text{OPQRSTO}$ है जिसका क्षेत्रफल
$=$ क्षेत्र $\text{OTQPO}$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $\text{TSRQT}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) d x+\int_{1}^{2}(x+1) d x$
$=\left[\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right]_{0}^{1}+\left[\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\right]_{1}^{2}$
$=\left[\left(\frac{1}{3}+1\right)-0\right]$$+\left[(2+2)-\left(\frac{1}{2}+1\right)\right]=\frac{23}{6}$
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