क्षेत्र ${(x, y) : y^2 \leq 4 x, 4 x^{2 }+ 4y^2 \leq 9}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-15
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परवलय का समीकरण
$y^{2 }= 4x ...(i)$
$4x^{2 }+ 4y^{2 }= 9 ...(ii)$
जिसका केंद्र $(0, 0)$ तथा त्रिज्या $\frac{3}{2}$ है।
समी $(i)$ तथा $(ii)$ से $y$ का विलोपन करने पर,
$4x^{2 }+ 16x = 9$
$\Rightarrow 4x^{2 }+ 16x - 9 = 0$
$\Rightarrow 4x^{2 }+ 18x - 2x - 9 = 0$
$\Rightarrow 2x(2x + 9) - 1(2x + 9) = 0$
$\Rightarrow (2x + 9)(2x - 1) = 0$
$\Rightarrow x = \frac{-9}{2}, \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$
($x \neq \frac{-9}{2}$ क्योंकि यह असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।$)$
समी $(i)$ में $ x = \frac{1}{2}$ रखने पर, $y=\pm \sqrt{2}$
वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$ तथा $C\left(\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$ है। चूँकि छायांकित भाग $X-$अक्ष के परितः सममित है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2(\text{OABO}$ का क्षेत्रफल$)$
$=2\left[\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{4 x} d x+\int_{1 / 2}^{3 / 2} \sqrt{\frac{9-4 x^{2}}{4}} d x\right]$$=2 \times 2\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{0}^{1 / 2}+2 \int_{1 / 2}^{3 / 2} \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-x^{2}} d x$
$=\frac{8}{3}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{3 / 2}-0\right]$$+2\left[\frac{x}{2} \sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}+\frac{9}{8} \sin ^{-1} \frac{x}{3 / 2}\right]_{1 / 2}^{3 / 2}$
$=\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}}+2\left[0+\frac{9}{8} \sin ^{-1}(1)\right.$$\left.-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{1}{4}}-\frac{9}{8} \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right]$
$=\frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{9}{4} \cdot \frac{\pi}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{9 \pi}{8}+\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}$$=\frac{9 \pi}{8}+\frac{1}{3 \sqrt{2}}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3} $ वर्ग इकाई
$y^{2 }= 4x ...(i)$
$4x^{2 }+ 4y^{2 }= 9 ...(ii)$
जिसका केंद्र $(0, 0)$ तथा त्रिज्या $\frac{3}{2}$ है।
समी $(i)$ तथा $(ii)$ से $y$ का विलोपन करने पर,
$4x^{2 }+ 16x = 9$
$\Rightarrow 4x^{2 }+ 16x - 9 = 0$
$\Rightarrow 4x^{2 }+ 18x - 2x - 9 = 0$
$\Rightarrow 2x(2x + 9) - 1(2x + 9) = 0$
$\Rightarrow (2x + 9)(2x - 1) = 0$
$\Rightarrow x = \frac{-9}{2}, \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$
($x \neq \frac{-9}{2}$ क्योंकि यह असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।$)$
समी $(i)$ में $ x = \frac{1}{2}$ रखने पर, $y=\pm \sqrt{2}$
वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$ तथा $C\left(\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$ है। चूँकि छायांकित भाग $X-$अक्ष के परितः सममित है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2(\text{OABO}$ का क्षेत्रफल$)$
$=2\left[\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{4 x} d x+\int_{1 / 2}^{3 / 2} \sqrt{\frac{9-4 x^{2}}{4}} d x\right]$$=2 \times 2\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{0}^{1 / 2}+2 \int_{1 / 2}^{3 / 2} \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-x^{2}} d x$
$=\frac{8}{3}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{3 / 2}-0\right]$$+2\left[\frac{x}{2} \sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}+\frac{9}{8} \sin ^{-1} \frac{x}{3 / 2}\right]_{1 / 2}^{3 / 2}$
$=\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}}+2\left[0+\frac{9}{8} \sin ^{-1}(1)\right.$$\left.-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{1}{4}}-\frac{9}{8} \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right]$
$=\frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{9}{4} \cdot \frac{\pi}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{9 \pi}{8}+\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}$$=\frac{9 \pi}{8}+\frac{1}{3 \sqrt{2}}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3} $ वर्ग इकाई
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