दो वृत्तों $x^{2 }+ y^{2 }= 4$ एवं $(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= 4$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
example-10
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दिए हुए वृतों के समीकरण हैं:
$x^{2 }+ y^{2 }= 4 ...(i)$
$x^{2 }+ y^{2 }= 4(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= 4 ...(ii)$
और
समीकरण $(i)$ ऐसा वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु $O$ पर है ओर जिसकी त्रिज्या $2$ इकाई है। समीकरण $(ii)$ एक ऐसा वृत्त है जिसका केंद्र $C(2, O$) है और जिसकी त्रिज्या $2$ इकाई है। समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर हम पाते हैं:
$(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= x^{2 }+ y^2$
अथवा $x^{2 }- 4x + 4 + y^{2 }= x^{2 }+ y^2$
अथवा $x = 1$ जिससे $y = \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः दिए हुए वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, \sqrt{3})$ और $A'(1, -\sqrt{3})$ है, जैसा आकृति में दर्शाया गया है। वृत्तों के मध्यवर्ती क्षेत्र $\text{OACA'O}$ का अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 [$क्षेत्र $\text{ODCAO}$ का क्षेत्रफल$]$
$= 2[$क्षेत्र $\text{ODAO}$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $\text{DCAD}$ का क्षेत्रफल$]$
$=2\left[\int_{0}^{1} y d x+\int_{1}^{2} y d x\right]$
$=2\left[\int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-2)^{2}} d x\right.\left.+\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x\right]$
$=2\left[\frac{1}{2}(x-2) \sqrt{4-(x-2)^{2}}\right.\left.+\frac{1}{2} \times 4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)\right]_{0}^{1}+2\left[\frac{1}{2} x \sqrt{4-x^{2}}+\frac{1}{2} \times 4 \sin ^{-1} \frac{x}{2}\right]_{1}^{2}$
$=\left[(x-2) \sqrt{4-(x-2)^{2}}\right.\left.+4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)\right]_{0}^{1}+\left[x \sqrt{4-x^{2}}+4 \sin ^{-1} \frac{x}{2}\right]_{1}^{2}$
$=\left[\left(-\sqrt{3}+4 \sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)-4 \sin ^{-1}(-1)\right]+\left[4 \sin ^{-1} 1-\sqrt{3}-4 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right]$
$=\left[\left(-\sqrt{3}-4 \times \frac{\pi}{6}\right)+4 \times \frac{\pi}{2}\right]+\left[4 \times \frac{\pi}{2}-\sqrt{3}-4 \times \frac{\pi}{6}\right]$
$=\left(-\sqrt{3}-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi\right)+\left(2 \pi-\sqrt{3}-\frac{2 \pi}{3}\right)$
$=\frac{8 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$
$x^{2 }+ y^{2 }= 4 ...(i)$
$x^{2 }+ y^{2 }= 4(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= 4 ...(ii)$
और
समीकरण $(i)$ ऐसा वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु $O$ पर है ओर जिसकी त्रिज्या $2$ इकाई है। समीकरण $(ii)$ एक ऐसा वृत्त है जिसका केंद्र $C(2, O$) है और जिसकी त्रिज्या $2$ इकाई है। समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर हम पाते हैं:
$(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= x^{2 }+ y^2$
अथवा $x^{2 }- 4x + 4 + y^{2 }= x^{2 }+ y^2$
अथवा $x = 1$ जिससे $y = \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः दिए हुए वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, \sqrt{3})$ और $A'(1, -\sqrt{3})$ है, जैसा आकृति में दर्शाया गया है। वृत्तों के मध्यवर्ती क्षेत्र $\text{OACA'O}$ का अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 [$क्षेत्र $\text{ODCAO}$ का क्षेत्रफल$]$
$= 2[$क्षेत्र $\text{ODAO}$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $\text{DCAD}$ का क्षेत्रफल$]$
$=2\left[\int_{0}^{1} y d x+\int_{1}^{2} y d x\right]$
$=2\left[\int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-2)^{2}} d x\right.\left.+\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x\right]$
$=2\left[\frac{1}{2}(x-2) \sqrt{4-(x-2)^{2}}\right.\left.+\frac{1}{2} \times 4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)\right]_{0}^{1}+2\left[\frac{1}{2} x \sqrt{4-x^{2}}+\frac{1}{2} \times 4 \sin ^{-1} \frac{x}{2}\right]_{1}^{2}$
$=\left[(x-2) \sqrt{4-(x-2)^{2}}\right.\left.+4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)\right]_{0}^{1}+\left[x \sqrt{4-x^{2}}+4 \sin ^{-1} \frac{x}{2}\right]_{1}^{2}$
$=\left[\left(-\sqrt{3}+4 \sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)-4 \sin ^{-1}(-1)\right]+\left[4 \sin ^{-1} 1-\sqrt{3}-4 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right]$
$=\left[\left(-\sqrt{3}-4 \times \frac{\pi}{6}\right)+4 \times \frac{\pi}{2}\right]+\left[4 \times \frac{\pi}{2}-\sqrt{3}-4 \times \frac{\pi}{6}\right]$
$=\left(-\sqrt{3}-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi\right)+\left(2 \pi-\sqrt{3}-\frac{2 \pi}{3}\right)$
$=\frac{8 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$
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