समाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x| + |y| = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-11
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दिया गया वक्र, |x| + |y| = 1
प्रथम चतुर्थांश में, (x > 0, y > 0) तब, रेखा AB, x + y = 1 है।
द्वितीय चतुर्थांश में, (x < 0, y > 0) तब, रेखा BC, -x + y = 1 है।
तृतीय़ चतुर्थांश में, (x < 0, y < 0) तब, रेखा CD, -x - y = 1 है।
चतुर्थ चतुर्थांश में, (x > 0, y < 0) तब, रेखा DA, x - y = 1 है।
चूँकि ABCD एक वर्ग है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = 4 $\times$ (प्रथम चतुर्थांश में छायांकित भाग का क्षेत्रफल)
$=4 \int_{0}^{1}(1-x) d x$ ($\because$ x + y = 1 $\Rightarrow$ y = 1 - x)
$=4\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$ $=4\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]$ = 2 वर्ग इकाई
प्रथम चतुर्थांश में, (x > 0, y > 0) तब, रेखा AB, x + y = 1 है।
द्वितीय चतुर्थांश में, (x < 0, y > 0) तब, रेखा BC, -x + y = 1 है।
तृतीय़ चतुर्थांश में, (x < 0, y < 0) तब, रेखा CD, -x - y = 1 है।
चतुर्थ चतुर्थांश में, (x > 0, y < 0) तब, रेखा DA, x - y = 1 है।
चूँकि ABCD एक वर्ग है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = 4 $\times$ (प्रथम चतुर्थांश में छायांकित भाग का क्षेत्रफल)
$=4 \int_{0}^{1}(1-x) d x$ ($\because$ x + y = 1 $\Rightarrow$ y = 1 - x)
$=4\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$ $=4\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]$ = 2 वर्ग इकाई
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