समाकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओं 2x + y = 4, 3x - 2y = 6 एवं x - 3y + 5 = 0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-14
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दी गई रेखाओं का समीकरण,
2x + y = 4 ...(i)
3x - 2y = 6 ...(ii)
x - 3y + 5 = 0 ...(iii)
समी (i) तथा (ii) से,
4 - 2x = $\frac{3 x-6}{2} $ (y के विलेपन से)
$\Rightarrow$ 8 - 4x = 3x - 6
$\Rightarrow$ 7x = 14 $\Rightarrow$ x = 2
समी (i) से,
y = 4 - 2x = 4 - 2 $\times$ 2 = 0
$\therefore$ समी (i) तथा (ii), एक-दूसरे को बिंदु (2, 0) पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
समी (ii) तथा (iii) से,
$\frac{3 x-6}{2}=\frac{x+5}{3}$ $\Rightarrow$ 9x - 18 = 2x + 10 $\Rightarrow$ 7x = 28 $\Rightarrow$ x = 4
समी (ii) से, y = $\frac{3 \times 4-6}{2}=3$
$\therefore$ समी (ii) तथा (iii) एक-दूसरे को बिंदु (4, 3) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समी (i) तथा (ii) से, 4 - 2x $= \frac{x+5}{3} $ $\Rightarrow$ 7x = 7 $\Rightarrow$ x = 1
समी (i) से, y = 4 - 2x = 4 - 2 $\times$ 1 = 2
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल = रेखाखंड AB में अंतर्गत क्षेत्रफल + रेखाखंड BC के अंतर्गत क्षेत्रफल + रेखाखंड AC के अंतर्गत क्षेत्रफल [समी (i) तथा (iii) एक-दूसरे को बिंदु (1, 2) पर प्रतिच्छेद करते हैं।]
$=\int_{1}^{4}\left(\frac{x+5}{3}\right) d x-\int_{1}^{2}(4-2 x) d x$$-\int_{2}^{4}\left(\frac{3 x-6}{2}\right) d x$
$=\frac{1}{3}\left[\frac{(x+5)^{2}}{2}\right]_{1}^{4}-\left[4 x-x^{2}\right]_{1}^{2}$$-\frac{1}{2}\left[\frac{3 x^{2}}{2}-6 x\right]_{2}^{4}$
$=\frac{1}{6}\left[9^{2}-6^{2}\right]-\{(8-4)-(4-1)\}$$-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{3 \times 4^{2}}{2}-6 \times 4\right)\right.$$\left.-\left(3 \times \frac{2^{2}}{2}-6 \times 2\right)\right]$
$=\frac{45}{6}-1-\frac{1}{2}(0-6+12)$$=\frac{15}{2}-1-3=\frac{7}{2}$ वर्ग इकाई
2x + y = 4 ...(i)
3x - 2y = 6 ...(ii)
x - 3y + 5 = 0 ...(iii)
समी (i) तथा (ii) से,
4 - 2x = $\frac{3 x-6}{2} $ (y के विलेपन से)
$\Rightarrow$ 8 - 4x = 3x - 6
$\Rightarrow$ 7x = 14 $\Rightarrow$ x = 2
समी (i) से,
y = 4 - 2x = 4 - 2 $\times$ 2 = 0
$\therefore$ समी (i) तथा (ii), एक-दूसरे को बिंदु (2, 0) पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
समी (ii) तथा (iii) से,
$\frac{3 x-6}{2}=\frac{x+5}{3}$ $\Rightarrow$ 9x - 18 = 2x + 10 $\Rightarrow$ 7x = 28 $\Rightarrow$ x = 4
समी (ii) से, y = $\frac{3 \times 4-6}{2}=3$
$\therefore$ समी (ii) तथा (iii) एक-दूसरे को बिंदु (4, 3) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समी (i) तथा (ii) से, 4 - 2x $= \frac{x+5}{3} $ $\Rightarrow$ 7x = 7 $\Rightarrow$ x = 1
समी (i) से, y = 4 - 2x = 4 - 2 $\times$ 1 = 2
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल = रेखाखंड AB में अंतर्गत क्षेत्रफल + रेखाखंड BC के अंतर्गत क्षेत्रफल + रेखाखंड AC के अंतर्गत क्षेत्रफल [समी (i) तथा (iii) एक-दूसरे को बिंदु (1, 2) पर प्रतिच्छेद करते हैं।]
$=\int_{1}^{4}\left(\frac{x+5}{3}\right) d x-\int_{1}^{2}(4-2 x) d x$$-\int_{2}^{4}\left(\frac{3 x-6}{2}\right) d x$
$=\frac{1}{3}\left[\frac{(x+5)^{2}}{2}\right]_{1}^{4}-\left[4 x-x^{2}\right]_{1}^{2}$$-\frac{1}{2}\left[\frac{3 x^{2}}{2}-6 x\right]_{2}^{4}$
$=\frac{1}{6}\left[9^{2}-6^{2}\right]-\{(8-4)-(4-1)\}$$-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{3 \times 4^{2}}{2}-6 \times 4\right)\right.$$\left.-\left(3 \times \frac{2^{2}}{2}-6 \times 2\right)\right]$
$=\frac{45}{6}-1-\frac{1}{2}(0-6+12)$$=\frac{15}{2}-1-3=\frac{7}{2}$ वर्ग इकाई
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