एक धनात्मक पूर्णांक $3q + 1$ के रूप का है, जहाँ $q$ एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को $3m + 1$ से भिन्न रूप में, अर्थात् $3m$ या $3m + 2$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Exercise-1.2-5
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यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,
$a = bq + r, 0 \leq r < b$
यहाँ, a कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b = 3,$ इस प्रकार
$a = 3q + r, 0 \leq r < 3$
तो, यह $3q, 3q + 1$ या $3q + 2$ के रूप में होना चाहिए।
अब $r = 0$ के लिए, $a = 3q,$ इसलिए
$(3q)^2 = 9q^2 = 3m [$जहाँ, $m = 3q^2]$
$r = 1, a = 3q + 1$ के लिए, इसलिए
$(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1 [$जहाँ, $m = 3q^2 + 2q]$
$r = 2$ के लिए, $a = 3q + 2,$ इसलिए
$(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^{2 }+ 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1 [$जहाँ, $m = 3q 2 + 2q + 1]$
इसलिए, $3q + 1$ धनात्मक संख्या का वर्ग $3m$ या $3m$ के रूप का होता है $+1$ लेकिन $3m + 2$ या किसी अन्य रूप का न हो।
$a = bq + r, 0 \leq r < b$
यहाँ, a कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b = 3,$ इस प्रकार
$a = 3q + r, 0 \leq r < 3$
तो, यह $3q, 3q + 1$ या $3q + 2$ के रूप में होना चाहिए।
अब $r = 0$ के लिए, $a = 3q,$ इसलिए
$(3q)^2 = 9q^2 = 3m [$जहाँ, $m = 3q^2]$
$r = 1, a = 3q + 1$ के लिए, इसलिए
$(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1 [$जहाँ, $m = 3q^2 + 2q]$
$r = 2$ के लिए, $a = 3q + 2,$ इसलिए
$(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^{2 }+ 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1 [$जहाँ, $m = 3q 2 + 2q + 1]$
इसलिए, $3q + 1$ धनात्मक संख्या का वर्ग $3m$ या $3m$ के रूप का होता है $+1$ लेकिन $3m + 2$ या किसी अन्य रूप का न हो।
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