फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
Exercise-5.1-15
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यहाँ,
चूँकि x < 0 के लिए f(x) = 2x, 0 < x < 1 के लिए f(x) = 0 तथा x > 1 के लिए f(x) = 4x बहुपदी फलन है, अतः सतत् फलन है। अब, हम केवल x = 0 तथा x = 1 पर f(x) की सतत्ता का परीक्षण करेंगे।
x = 0 पर, LHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}$ (2x)
x = 0 - h रखने पर, $ x \rightarrow 0^{-}$ $\Rightarrow$ h $\rightarrow $ 0
$\Rightarrow$ $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [2(0 - h)] = $ \lim \limits_{h \rightarrow 0}$ (- 2h) = - 2 $\times$ 0 = 0
तथा x = 0 पर, RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}$(0) = 0
पुनः, f(0) = 0
$\therefore$ LHL = RHL = f(0)
अतः f(x), x = 0 पर सतत् फलन है।
x = 1 पर, LHL = $ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$(0) = 0
तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$(4x)
x = 1 + h रखने पर, x $\rightarrow 1^{+}$ $\Rightarrow $ h $\rightarrow$ 0
$\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [4(1 + h)] = $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$(4 + 4h) = 4 + 4 $\times$ 0 = 4
$\therefore$ LHL $\neq $ RHL
अतः f(x), x = 1 को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत् फलन है।
चूँकि x < 0 के लिए f(x) = 2x, 0 < x < 1 के लिए f(x) = 0 तथा x > 1 के लिए f(x) = 4x बहुपदी फलन है, अतः सतत् फलन है। अब, हम केवल x = 0 तथा x = 1 पर f(x) की सतत्ता का परीक्षण करेंगे।
x = 0 पर, LHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}$ (2x)
x = 0 - h रखने पर, $ x \rightarrow 0^{-}$ $\Rightarrow$ h $\rightarrow $ 0
$\Rightarrow$ $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [2(0 - h)] = $ \lim \limits_{h \rightarrow 0}$ (- 2h) = - 2 $\times$ 0 = 0
तथा x = 0 पर, RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}$(0) = 0
पुनः, f(0) = 0
$\therefore$ LHL = RHL = f(0)
अतः f(x), x = 0 पर सतत् फलन है।
x = 1 पर, LHL = $ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$(0) = 0
तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$(4x)
x = 1 + h रखने पर, x $\rightarrow 1^{+}$ $\Rightarrow $ h $\rightarrow$ 0
$\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [4(1 + h)] = $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$(4 + 4h) = 4 + 4 $\times$ 0 = 4
$\therefore$ LHL $\neq $ RHL
अतः f(x), x = 1 को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत् फलन है।
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