h(x) = sin x + cos x, 0 < x < $\frac{\pi}{2}$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(3)
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दिया गया फलन h(x) = sin x + cos x, 0 < x < $\frac{\pi}{2}$
$\therefore$ h$^{\prime}$(x) = cos x - sin x और h$^{\prime \prime}$(x) = -sin x - cos x
न्यूनतम और उच्चतम मान के लिए h$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ sin x = cos x $\Rightarrow$ $ \frac{\sin x}{\cos x}$ = 1 $\Rightarrow$ tan x = 1 $\Rightarrow$ x = $ \frac{\pi}{4}$ $\in$ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
x = $\frac{\pi}{4}$ पर, h$^{\prime \prime}$ $ \left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - sin $ \frac{\pi}{4}$ - cos $ \frac{\pi}{4}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = - $ \frac{2}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2}$ < 0
इसलिए, द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा x = $\frac{\pi}{4}$ स्थानीय उच्चतम के मान का बिंदु है,
$\therefore$ स्थानीय उच्चतम मान h $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + cos $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$
$\therefore$ h$^{\prime}$(x) = cos x - sin x और h$^{\prime \prime}$(x) = -sin x - cos x
न्यूनतम और उच्चतम मान के लिए h$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ sin x = cos x $\Rightarrow$ $ \frac{\sin x}{\cos x}$ = 1 $\Rightarrow$ tan x = 1 $\Rightarrow$ x = $ \frac{\pi}{4}$ $\in$ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
x = $\frac{\pi}{4}$ पर, h$^{\prime \prime}$ $ \left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - sin $ \frac{\pi}{4}$ - cos $ \frac{\pi}{4}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = - $ \frac{2}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2}$ < 0
इसलिए, द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा x = $\frac{\pi}{4}$ स्थानीय उच्चतम के मान का बिंदु है,
$\therefore$ स्थानीय उच्चतम मान h $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + cos $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$
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