निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y = x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
Exercise-6.2-19
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दिया है, $y = x^{2 }e^{-x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = x^2e^{-x}(-1) + e^{-x}(2x) = xe^{-x}(- x + 2) = x(2 - x) e^{-x}$
वर्धमान फलन के लिए, $\frac{d y}{d x} > 0 \Rightarrow x e^{-x}(2 - x) > 0$
$\Rightarrow x > 0$ या $2 - x > 0 \Rightarrow x > 0$ या $- x > - 2 \Rightarrow x > 0$ या $x < - 2$
क्योंकि $e^{-x}$ शुन्य नहीं हो सकता है, इसलिए फलन अंतराल $(0, 2)$ में वर्धमान है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = x^2e^{-x}(-1) + e^{-x}(2x) = xe^{-x}(- x + 2) = x(2 - x) e^{-x}$
वर्धमान फलन के लिए, $\frac{d y}{d x} > 0 \Rightarrow x e^{-x}(2 - x) > 0$
$\Rightarrow x > 0$ या $2 - x > 0 \Rightarrow x > 0$ या $- x > - 2 \Rightarrow x > 0$ या $x < - 2$
क्योंकि $e^{-x}$ शुन्य नहीं हो सकता है, इसलिए फलन अंतराल $(0, 2)$ में वर्धमान है।
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