सिद्ध कीजिए कि वक्र $x = y^2$ और $xy = k$ एक दूसरे को समकोण$*$ पर काटती है, यदि $8k^{2 }= 1$ है।
Exercise-6.3-23
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दिए गए वक्रों के समीकरण है,
$x = y^2 ...(i)$
और $xy = k ...(ii)$
दोनों वक्रों का प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{k}{y} = y^{2 }[$समी $(i)$ से $x$ का मान $(ii)$ में रखने पर$]$
$\Rightarrow y^{3 }= k$
$\Rightarrow y = k^{1/3}$
अंब$, y$ का मान समी $(i)$ में रखने पर$, x = (k^{1/3})^{2 }= k^{2/3}$
$\therefore$ समी $(i)$ और समी $(ii)$ बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर काटते हैं।
समी $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर.
$1 = 2y \frac{d y}{d x}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$
$\therefore$ प्रथम वक्र के बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{1}{2 k^{1 / 3}} ...(iii)$
समी $(ii)$ से, $y = \frac{k}{x}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{-k}{x^{2}}$
$\therefore$ द्वितीय वक्र के बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{-k}{\left(k^{2 / 3}\right)^{2}} = \frac{-k}{k^{4 / 3}} = \frac{-1}{k^{1 / 3}}$
हम जानते हैं कि दो वक्र एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, यदि वक्रों की स्पर्श रेखा, कटे हुए बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर एक$-$दूसरे पर अभिलंब हैं।
यह दर्शाता है कि स्पर्श रेखा के गुणनफल $= - 1$ होना चाहिए।
$\Rightarrow \left(\frac{1}{2 k^{1 / 3}}\right)\left(-\frac{1}{k^{1 / 3}}\right) = - 1$
$\Rightarrow 1 = 2k^{2/3}$
$\Rightarrow 1^{3 }= (2 k^{2/3})^3$
$\Rightarrow 1 = 8k^2$
अतः, दिए गए दो वक्र समकोण पर काटते हैं, यदि $8k^{2 }= 1$
$x = y^2 ...(i)$
और $xy = k ...(ii)$
दोनों वक्रों का प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{k}{y} = y^{2 }[$समी $(i)$ से $x$ का मान $(ii)$ में रखने पर$]$
$\Rightarrow y^{3 }= k$
$\Rightarrow y = k^{1/3}$
अंब$, y$ का मान समी $(i)$ में रखने पर$, x = (k^{1/3})^{2 }= k^{2/3}$
$\therefore$ समी $(i)$ और समी $(ii)$ बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर काटते हैं।
समी $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर.
$1 = 2y \frac{d y}{d x}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$
$\therefore$ प्रथम वक्र के बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{1}{2 k^{1 / 3}} ...(iii)$
समी $(ii)$ से, $y = \frac{k}{x}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{-k}{x^{2}}$
$\therefore$ द्वितीय वक्र के बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{-k}{\left(k^{2 / 3}\right)^{2}} = \frac{-k}{k^{4 / 3}} = \frac{-1}{k^{1 / 3}}$
हम जानते हैं कि दो वक्र एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, यदि वक्रों की स्पर्श रेखा, कटे हुए बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर एक$-$दूसरे पर अभिलंब हैं।
यह दर्शाता है कि स्पर्श रेखा के गुणनफल $= - 1$ होना चाहिए।
$\Rightarrow \left(\frac{1}{2 k^{1 / 3}}\right)\left(-\frac{1}{k^{1 / 3}}\right) = - 1$
$\Rightarrow 1 = 2k^{2/3}$
$\Rightarrow 1^{3 }= (2 k^{2/3})^3$
$\Rightarrow 1 = 8k^2$
अतः, दिए गए दो वक्र समकोण पर काटते हैं, यदि $8k^{2 }= 1$
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