वक्र $x^{2 }+ y^{2 }- 2x - 3 = 0$ के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे $x-$अक्ष के समांतर हैं।
Exercise-6.3-19
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $x^{2 }+ y^2 - 2x - 3 = 0 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x + 2y \frac{d y}{d x} - 2 = 0$
$\Rightarrow 2y \frac{d y}{d x} = 2 - 2x$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2(1-x)}{2 y} = \frac{1-x}{y}$
स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के समांतर होने के लिए, $\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{1-x}{y} = 0$
$\Rightarrow 1 - x = 0$
$\Rightarrow x = 1$
$x = 1$ समी $(i)$ में रखने पर,
$1^{2 }+ y^{2 }- 2 \times 1 - 3 = 0$
$\Rightarrow y^{2 }- 4 = 0$
$y = \pm 2$
अतः वो बिंदु जिस पर स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के समांतर $(1, 2)$ और $(1, - 2)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x + 2y \frac{d y}{d x} - 2 = 0$
$\Rightarrow 2y \frac{d y}{d x} = 2 - 2x$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2(1-x)}{2 y} = \frac{1-x}{y}$
स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के समांतर होने के लिए, $\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{1-x}{y} = 0$
$\Rightarrow 1 - x = 0$
$\Rightarrow x = 1$
$x = 1$ समी $(i)$ में रखने पर,
$1^{2 }+ y^{2 }- 2 \times 1 - 3 = 0$
$\Rightarrow y^{2 }- 4 = 0$
$y = \pm 2$
अतः वो बिंदु जिस पर स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के समांतर $(1, 2)$ और $(1, - 2)$ है।
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