वक्र $y = x^3 - 11x + 5$ पर उस बिंदु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा $y = x - 11$ है।
Exercise-6.3-9
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वक्र का समीकरण $y = x^3 - 11x + 5 ...(i)$
रेखा $y = mx + c$ से दी गई रेखा$, y = x - 11$
तुलना करने पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m = 1$ है।
अब, दिए गए वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता$, \frac{d y}{d x} = 3x^2 - 11$
$\Rightarrow 3x^2 - 11 = 1(m = \frac{d y}{d x} = 1)$
$\Rightarrow 3x^2 - 11 = 1$
$\Rightarrow 3x^{2 }= 12$
$\Rightarrow x^2 = 4$
$\Rightarrow x = \pm 2$
जब $x = 2,$ तब समी $(i)$ से$, y = (+2)^3 - 11 \times 5 + 5 = - 9$
जब $x = - 2,$ तब समी $(i)$ से$, y = (-2)^3 - 11(2) + 5 = 19$
अतः बिंदु $(2,- 9)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (- 9) = 1(x - 2)$ या $y = x - 11$
जबकि बिंदु $(- 2, 19)$ रेखा $y = x - 11$ को संतुष्ट नहीं करता है।
रेखा $y = mx + c$ से दी गई रेखा$, y = x - 11$
तुलना करने पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m = 1$ है।
अब, दिए गए वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता$, \frac{d y}{d x} = 3x^2 - 11$
$\Rightarrow 3x^2 - 11 = 1(m = \frac{d y}{d x} = 1)$
$\Rightarrow 3x^2 - 11 = 1$
$\Rightarrow 3x^{2 }= 12$
$\Rightarrow x^2 = 4$
$\Rightarrow x = \pm 2$
जब $x = 2,$ तब समी $(i)$ से$, y = (+2)^3 - 11 \times 5 + 5 = - 9$
जब $x = - 2,$ तब समी $(i)$ से$, y = (-2)^3 - 11(2) + 5 = 19$
अतः बिंदु $(2,- 9)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (- 9) = 1(x - 2)$ या $y = x - 11$
जबकि बिंदु $(- 2, 19)$ रेखा $y = x - 11$ को संतुष्ट नहीं करता है।
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