किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है? चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है।
Exercise-7.1-5
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माना आकृति में स्तंभों की संख्या x-अक्ष पर और पंक्तियों की संख्या y-अक्ष पर प्रदर्शित हैं।
इस प्रकार, दिए गए बिन्दु हैं:
A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) और D(6, 1)
$\therefore$ AB = $\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}}$
= $\sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
BC = $\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}}$
= $\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
CD = $\sqrt{(6-9)^{2}+(1-4)^{2}}$
= $\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
AD = $\sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}}$
= $\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
चूंकि AB = BC = CD = AD अर्थात् सभी चार भुजाएँ समान हैं।
तथा AC = $\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}$
= $\sqrt{(-6)^{2}+(0)^{2}}$ = 6
और AC = $\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}$
= $\sqrt{(-6)^{2}+(0)^{2}}$ = 6
और BD = $\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}}$
= $\sqrt{(0)^{2}+(-6)^{2}}$ = 6
अर्थात् BD = AC $\Rightarrow$ दोनों विकर्ण भी समान हैं।
$\therefore$ ABCD एक वर्ग है। अर्थात् चंपा सही है।
इस प्रकार, दिए गए बिन्दु हैं:
A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) और D(6, 1)
$\therefore$ AB = $\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}}$
= $\sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
BC = $\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}}$
= $\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
CD = $\sqrt{(6-9)^{2}+(1-4)^{2}}$
= $\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
AD = $\sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}}$
= $\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}}$
= $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
चूंकि AB = BC = CD = AD अर्थात् सभी चार भुजाएँ समान हैं।
तथा AC = $\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}$
= $\sqrt{(-6)^{2}+(0)^{2}}$ = 6
और AC = $\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}$
= $\sqrt{(-6)^{2}+(0)^{2}}$ = 6
और BD = $\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}}$
= $\sqrt{(0)^{2}+(-6)^{2}}$ = 6
अर्थात् BD = AC $\Rightarrow$ दोनों विकर्ण भी समान हैं।
$\therefore$ ABCD एक वर्ग है। अर्थात् चंपा सही है।
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