छेदक रेखा $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.1-7
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दिया है,
$x=\frac{a}{\sqrt{2}} ...(i)$
तथा वृत्त, $x^{2 }+ y^{2 }= a^2 ...(ii)$
चूँकि दी गई रेखा वृत्त को प्रतिच्छेदित करती है, अतः समी $(ii)$ में $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ रखने पर हमें प्राप्त होगा
$\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+y^{2}=a^{2}$
$\Rightarrow y^{2}=\frac{a^{2}}{1}-\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}$
$\Rightarrow |y|=\frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow y$ $=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
जब $y=\frac{a}{\sqrt{2}}$ $ \Rightarrow x^{2}=a^{2}-\left(\frac{a^{2}}{2}\right)$
$x^{2}=\frac{a^{2}}{2} $ $\Rightarrow x=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
$\therefore$ प्रथम चतुर्थांश में $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ प्रतिच्छेदक बिंदु हैं।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 \times ($केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल$)$
$=2 \int_{a / \sqrt{2}}^{a}|y| d x=2 \int_{a / \sqrt{2}}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$$=2\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{a / \sqrt{2}}^{a}$
$\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\right.$$\left.=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]$
$=2\left[0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}(1)\right.$$\left.-\frac{a}{2 \sqrt{2}} \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}-\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right]$
$=2\left[\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{a}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$
$=2\left[\frac{a^{2} \pi}{4}-\frac{\pi a^{2}}{8}-\frac{a^{2}}{4}\right]$$=\left(\frac{a^{2} \pi}{4}-\frac{a^{2}}{2}\right)=\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$ वर्ग इकाई
अतः छेदक रेखा $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$^ के छोटे भाग का क्षेत्रफल $\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$ वर्ग इकाई है।
$x=\frac{a}{\sqrt{2}} ...(i)$
तथा वृत्त, $x^{2 }+ y^{2 }= a^2 ...(ii)$
चूँकि दी गई रेखा वृत्त को प्रतिच्छेदित करती है, अतः समी $(ii)$ में $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ रखने पर हमें प्राप्त होगा
$\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+y^{2}=a^{2}$
$\Rightarrow y^{2}=\frac{a^{2}}{1}-\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}$
$\Rightarrow |y|=\frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow y$ $=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
जब $y=\frac{a}{\sqrt{2}}$ $ \Rightarrow x^{2}=a^{2}-\left(\frac{a^{2}}{2}\right)$
$x^{2}=\frac{a^{2}}{2} $ $\Rightarrow x=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
$\therefore$ प्रथम चतुर्थांश में $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ प्रतिच्छेदक बिंदु हैं।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 \times ($केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल$)$
$=2 \int_{a / \sqrt{2}}^{a}|y| d x=2 \int_{a / \sqrt{2}}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$$=2\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{a / \sqrt{2}}^{a}$
$\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x\right.$$\left.=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]$
$=2\left[0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}(1)\right.$$\left.-\frac{a}{2 \sqrt{2}} \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}-\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right]$
$=2\left[\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{a}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$
$=2\left[\frac{a^{2} \pi}{4}-\frac{\pi a^{2}}{8}-\frac{a^{2}}{4}\right]$$=\left(\frac{a^{2} \pi}{4}-\frac{a^{2}}{2}\right)=\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$ वर्ग इकाई
अतः छेदक रेखा $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$^ के छोटे भाग का क्षेत्रफल $\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$ वर्ग इकाई है।
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