समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज $\text{ABC}$, का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $A(2, 0), B(4, 5)$ एवं $C(6, 3)$ हैं।
Miscellaneous Exercise-13
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दिए गए बिंदु $A(2, 0), B(4, 5)$ तथा $C(6, 3)$ हैं।
तथा रेखा $AB$ का समीकरण,
$y - 0 = \frac{5-0}{4-2}(x-2) (y - y_{1 }= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} (x - x_1)$ के प्रयोग से$)$
$\Rightarrow y=\frac{5}{2} x-5$
रेखा $BC$ का समीकरण, $y - 5 = \frac{3-5}{6-4}(x-4)$
$\Rightarrow y = -x + 9$
तथा रेखा $AC$ का समीकरण,
$y - 0 = \frac{3-0}{6-2}(x-2)$
$\Rightarrow y=\frac{3}{4} x-\frac{3}{2}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($रेखाखंड $AB$ के अंतर्गत क्षेत्रफल $+$ रेखाखंड $BC$ के अंतर्गत क्षेत्रफल $-$ रेखाखंड $AC$ के अंतर्गत क्षेत्रफल$)$
$=\int_{2}^{4}\left(\frac{5}{2} x-5\right) d x$$+\int_{4}^{6}(-x+9) d x-\int_{2}^{6}\left(\frac{3}{4} x-\frac{3}{2}\right) d x$
$=\left[\frac{5 x^{2}}{4}-5 x\right]_{2}^{4}+\left[\frac{-x^{2}}{2}+9 x\right]_{4}^{6}$$-\left[\frac{3 x^{2}}{8}-\frac{3}{2} x\right]_{2}^{6}$
$=\left(\frac{5 \times 4^{2}}{4}-5 \times 4\right)-\left(\frac{5 \times 2^{2}}{4}-5 \times 2\right)$$+\left(\frac{-6^{2}}{2}+9 \times 6\right)$$-\left(\frac{-4^{2}}{2}+9 \times 4\right)-\left(\frac{3 \times 6^{2}}{8}-\frac{3}{2} \times 6\right)$$+\left(\frac{3 \times 2^{2}}{8}-\frac{3}{2} \times 2\right)$
$= (20 - 20) - (5 - 10) + (-18 + 54) - (-8 + 36) - \left(\frac{27}{2}-9\right)+\left(\frac{3}{2}-3\right)$
$= 5 + 36 - 28 - \frac{9}{2}-\frac{3}{2} = 7$ वर्ग इकाई
तथा रेखा $AB$ का समीकरण,
$y - 0 = \frac{5-0}{4-2}(x-2) (y - y_{1 }= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} (x - x_1)$ के प्रयोग से$)$
$\Rightarrow y=\frac{5}{2} x-5$
रेखा $BC$ का समीकरण, $y - 5 = \frac{3-5}{6-4}(x-4)$
$\Rightarrow y = -x + 9$
तथा रेखा $AC$ का समीकरण,
$y - 0 = \frac{3-0}{6-2}(x-2)$
$\Rightarrow y=\frac{3}{4} x-\frac{3}{2}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($रेखाखंड $AB$ के अंतर्गत क्षेत्रफल $+$ रेखाखंड $BC$ के अंतर्गत क्षेत्रफल $-$ रेखाखंड $AC$ के अंतर्गत क्षेत्रफल$)$
$=\int_{2}^{4}\left(\frac{5}{2} x-5\right) d x$$+\int_{4}^{6}(-x+9) d x-\int_{2}^{6}\left(\frac{3}{4} x-\frac{3}{2}\right) d x$
$=\left[\frac{5 x^{2}}{4}-5 x\right]_{2}^{4}+\left[\frac{-x^{2}}{2}+9 x\right]_{4}^{6}$$-\left[\frac{3 x^{2}}{8}-\frac{3}{2} x\right]_{2}^{6}$
$=\left(\frac{5 \times 4^{2}}{4}-5 \times 4\right)-\left(\frac{5 \times 2^{2}}{4}-5 \times 2\right)$$+\left(\frac{-6^{2}}{2}+9 \times 6\right)$$-\left(\frac{-4^{2}}{2}+9 \times 4\right)-\left(\frac{3 \times 6^{2}}{8}-\frac{3}{2} \times 6\right)$$+\left(\frac{3 \times 2^{2}}{8}-\frac{3}{2} \times 2\right)$
$= (20 - 20) - (5 - 10) + (-18 + 54) - (-8 + 36) - \left(\frac{27}{2}-9\right)+\left(\frac{3}{2}-3\right)$
$= 5 + 36 - 28 - \frac{9}{2}-\frac{3}{2} = 7$ वर्ग इकाई
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