वक्र $x^{2 }= 4y$ एवं रेखा $x = 4y - 2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.1-10
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दिया गया वक्र है,
$x^{2 }= 4y ...(i)$
जो ऊपर की ओर के परवलय को प्रदर्शित करता है जिसका शीर्ष $(0, 0)$ तथा अक्ष $Y-$अक्ष है, तब सरल रेखा का समीकरण
$x = 4y - 2 ...(ii)$
प्रतिच्छेदक बिंदु के लिए, समी $(i)$ सें समी $(ii)$ में $4y$ का मान रखने पर,
$x^2 = x + 2$
$\Rightarrow x^{2 }- x - 2 = 0$
$\Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$
$\Rightarrow x = 2, -1$
जब $x = 2,$ तब समी, $(ii)$ से,
$4y = 2 + 2 \Rightarrow y = 1$
जब $x = -1,$ तब समी, $(ii)$ से,
$4y = 2 - 1 = 1 $
$\Rightarrow y = \frac{1}{4}$
बिंदु $B\left(-1, \frac{1}{4}\right)$ और $A(2, 1)$ पर रेखा, परवलय से मिलती है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($रेखा $x = 4y - $2 के नीचे का क्षेत्रफल$) - ($परवलय $x^{2 }= 4y$ के नीचे का क्षेत्रफल)
$=\int_{-1}^{2}\left(\frac{x+2}{4}\right) d x-\int_{-1}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x ($समी (ii) से $, y = \frac{x+2}{4}$ तथा समी $(i)$ से $,y = \frac{x^{2}}{4}$)
$=\frac{1}{4}\left[\frac{x^{2}}{2}+2 x\right]_{-1}^{2}-\frac{1}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$
$=\frac{1}{4}\left\{\frac{2^{2}}{2}+2 \times 2-\left(\frac{1}{2}-2\right)\right\}$$-\frac{1}{12}\left[2^{3}-(-1)^{3}\right]$
$=\frac{1}{4}\left(6+\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{12} \times 9$ $=\frac{15}{8}-\frac{3}{4}=\frac{9}{8}$ वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{9}{8}$ वर्ग इकाई है।
$x^{2 }= 4y ...(i)$
जो ऊपर की ओर के परवलय को प्रदर्शित करता है जिसका शीर्ष $(0, 0)$ तथा अक्ष $Y-$अक्ष है, तब सरल रेखा का समीकरण
$x = 4y - 2 ...(ii)$
प्रतिच्छेदक बिंदु के लिए, समी $(i)$ सें समी $(ii)$ में $4y$ का मान रखने पर,
$x^2 = x + 2$
$\Rightarrow x^{2 }- x - 2 = 0$
$\Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$
$\Rightarrow x = 2, -1$
जब $x = 2,$ तब समी, $(ii)$ से,
$4y = 2 + 2 \Rightarrow y = 1$
जब $x = -1,$ तब समी, $(ii)$ से,
$4y = 2 - 1 = 1 $
$\Rightarrow y = \frac{1}{4}$
बिंदु $B\left(-1, \frac{1}{4}\right)$ और $A(2, 1)$ पर रेखा, परवलय से मिलती है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($रेखा $x = 4y - $2 के नीचे का क्षेत्रफल$) - ($परवलय $x^{2 }= 4y$ के नीचे का क्षेत्रफल)
$=\int_{-1}^{2}\left(\frac{x+2}{4}\right) d x-\int_{-1}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x ($समी (ii) से $, y = \frac{x+2}{4}$ तथा समी $(i)$ से $,y = \frac{x^{2}}{4}$)
$=\frac{1}{4}\left[\frac{x^{2}}{2}+2 x\right]_{-1}^{2}-\frac{1}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$
$=\frac{1}{4}\left\{\frac{2^{2}}{2}+2 \times 2-\left(\frac{1}{2}-2\right)\right\}$$-\frac{1}{12}\left[2^{3}-(-1)^{3}\right]$
$=\frac{1}{4}\left(6+\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{12} \times 9$ $=\frac{15}{8}-\frac{3}{4}=\frac{9}{8}$ वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{9}{8}$ वर्ग इकाई है।
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