परवलय $x^2 = y,$ रेखा $y = x + 2$ एवं $x-$अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-10
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दिया गयां वक्र, जोकि एक ऊपरमुख परवलय है तथा जिसका शीर्ष $(0, 0)$ है।
$y = x^{2 }...(i)$
तथा रेखा का समीकरण
$y = x + 2 ...(ii)$
$y$ का विलोपन करने पर, $[$समी $(i)$ व $(ii)$ से$]$
$x^{2 }- x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ या $-1$
जब $x = 2, y = 2 + 2 = 4$
जब $x = -1, y = (-1) + 2 = 1$
अतः परवलय तथा रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ तथा $(2, 4)$ हैं।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($रेखा $y = x + 2$ के द्वारा $x = -1, x = 2$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $- ($परवलय $x^{2 }= y$ के द्वारा $x = -1, x = 2$ के बीच घिरा क्षेत्रफल$)$
$=\int_{-1}^{2}(x+2) d x-\int_{-1}^{2} x^{2} d x$ $=\left[\frac{x^{2}}{2}+2 x\right]_{-1}^{2}-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$
$=\frac{2^{2}}{2}+2 \times 2-\left[\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1)\right]$$-\frac{1}{3}\left[2^{3}-(-1)^{3}\right]$
$=6-\frac{1}{2}+2-3=\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई
$y = x^{2 }...(i)$
तथा रेखा का समीकरण
$y = x + 2 ...(ii)$
$y$ का विलोपन करने पर, $[$समी $(i)$ व $(ii)$ से$]$
$x^{2 }- x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ या $-1$
जब $x = 2, y = 2 + 2 = 4$
जब $x = -1, y = (-1) + 2 = 1$
अतः परवलय तथा रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ तथा $(2, 4)$ हैं।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= ($रेखा $y = x + 2$ के द्वारा $x = -1, x = 2$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $- ($परवलय $x^{2 }= y$ के द्वारा $x = -1, x = 2$ के बीच घिरा क्षेत्रफल$)$
$=\int_{-1}^{2}(x+2) d x-\int_{-1}^{2} x^{2} d x$ $=\left[\frac{x^{2}}{2}+2 x\right]_{-1}^{2}-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$
$=\frac{2^{2}}{2}+2 \times 2-\left[\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1)\right]$$-\frac{1}{3}\left[2^{3}-(-1)^{3}\right]$
$=6-\frac{1}{2}+2-3=\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई
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