दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ एवं रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-9
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दिया है, वक्र $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ...(i)$
तथा रेखा का समीकरण, $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ...(ii)$
समी $(ii)$ से $\frac {x}{a}$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$\left(1-\frac{y}{b}\right)^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\Rightarrow 1+2\left(\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)-\frac{2 y}{b}=1$
$ \Rightarrow \frac{2 y}{b}\left(\frac{y}{b}-1\right)=0$
जब $y = 0, y = b,$ तब $x = a, x = 0$
अतः $A(a, 0)$ तथा $B(0, b)$ प्रतिच्छेदी बिंदु हैं।
चूँकि छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया क्षेत्रफल अभीष्ट क्षेत्रफल है।
अतः दीर्घवृत्त के लिए,
$\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{x^{2}}{a^{2}} $
$ \Rightarrow |y|=\frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$
अब, $\triangle \text{AOB}$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}|O A| \cdot|O B|=\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई तथा प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त के अंतर्गत क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{a} y d x=\int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ $=\frac{b}{a}\left[\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]_{0}^{a}$
$= \frac{b}{2 a}[{0 + a^2sin^{-1}(1)} - {0 + a^2 \sin^{-1}(0)}]$
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ वक्र $\text{OABO}$ का क्षेत्रफल $- \triangle \text{OAB}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{\pi a b}{4}-\frac{1}{2} a b$
$=\frac{(\pi-2) a b}{4}=\frac{a b}{4}(\pi-2)$ वर्ग इकाई
तथा रेखा का समीकरण, $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ...(ii)$
समी $(ii)$ से $\frac {x}{a}$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$\left(1-\frac{y}{b}\right)^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\Rightarrow 1+2\left(\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)-\frac{2 y}{b}=1$
$ \Rightarrow \frac{2 y}{b}\left(\frac{y}{b}-1\right)=0$
जब $y = 0, y = b,$ तब $x = a, x = 0$
अतः $A(a, 0)$ तथा $B(0, b)$ प्रतिच्छेदी बिंदु हैं।
चूँकि छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया क्षेत्रफल अभीष्ट क्षेत्रफल है।
अतः दीर्घवृत्त के लिए,
$\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{x^{2}}{a^{2}} $
$ \Rightarrow |y|=\frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$
अब, $\triangle \text{AOB}$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}|O A| \cdot|O B|=\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई तथा प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त के अंतर्गत क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{a} y d x=\int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ $=\frac{b}{a}\left[\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]_{0}^{a}$
$= \frac{b}{2 a}[{0 + a^2sin^{-1}(1)} - {0 + a^2 \sin^{-1}(0)}]$
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ वक्र $\text{OABO}$ का क्षेत्रफल $- \triangle \text{OAB}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{\pi a b}{4}-\frac{1}{2} a b$
$=\frac{(\pi-2) a b}{4}=\frac{a b}{4}(\pi-2)$ वर्ग इकाई
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