यदि वक्र $x = y^2$ एवं रेखा $x = 4$ से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा $x = a$ द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.1-8
Download our app for free and get started
दिया गया वक्र $x = y^2$ एक परवलय है जो $x-$ अक्ष के परितः सममित है तथा मूलबिदुं से गुजरता है।
परवलय तथा रेखा $x = 4$ से घिरे क्षेत्रफल को रेखा $x = a$ दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
$\therefore$ क्षेत्रफल $\text{OAD} =$ क्षेत्रफल $\text{ABCD}$
तथा क्षेत्रफल $\text{OED} =$ क्षेत्रफल $\text{EFCD}$
क्षेत्रफल $\text{OED} = \int_{0}^{a} y d x$
$\left(\because y^{2}=x \Rightarrow|y|=\sqrt{x}\right)$
$\Rightarrow \int_{0}^{a} \sqrt{x} d x=\int_{a}^{4} \sqrt{x} d x$
$\Rightarrow \left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{0}^{a}=\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{a}^{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{3}\left(a^{3 / 2}-0\right)=\frac{2}{3}\left(4^{3 / 2}-a^{3 / 2}\right)$
$\Rightarrow a^{3/2} = 4^{3/2} - a^{3/2}$
$\Rightarrow 2a^{3/2} = 8 $
$\Rightarrow a^{3/2} = 4 $
$\Rightarrow a = (4)^{2/3}$
अतः $a$ का मान $(4)^{2/3}$ है।
परवलय तथा रेखा $x = 4$ से घिरे क्षेत्रफल को रेखा $x = a$ दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
$\therefore$ क्षेत्रफल $\text{OAD} =$ क्षेत्रफल $\text{ABCD}$
तथा क्षेत्रफल $\text{OED} =$ क्षेत्रफल $\text{EFCD}$
क्षेत्रफल $\text{OED} = \int_{0}^{a} y d x$
$\left(\because y^{2}=x \Rightarrow|y|=\sqrt{x}\right)$
$\Rightarrow \int_{0}^{a} \sqrt{x} d x=\int_{a}^{4} \sqrt{x} d x$
$\Rightarrow \left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{0}^{a}=\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{a}^{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{3}\left(a^{3 / 2}-0\right)=\frac{2}{3}\left(4^{3 / 2}-a^{3 / 2}\right)$
$\Rightarrow a^{3/2} = 4^{3/2} - a^{3/2}$
$\Rightarrow 2a^{3/2} = 8 $
$\Rightarrow a^{3/2} = 4 $
$\Rightarrow a = (4)^{2/3}$
अतः $a$ का मान $(4)^{2/3}$ है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1आकृति में $\text{AOBA}$ प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त $9x^{2 }+ y^{2 }= 36$ का एक भाग है जिसमें $OA = 2$ इकाई तथा $OB = 6$ इकाई है। लघु चाप $AB$ एवं जीवा $AB$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3परवलय $y^{2}= 4ax$ एवं रेखा $y = mx$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5क्षेत्र $ {(x, y) : 0 \leq y \leq x^{2 }+ 1, 0 \leq y \leq x + 1, 0 \leq x \leq 2}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 4$, रेखा $x = \sqrt{3} y$ एवं $x-$अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7View Solutionसमाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x| + |y| = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8परवलय $x^2 = y,$ रेखा $y = x + 2$ एवं $x-$अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9$x-$ अक्ष के ऊपर तथा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 8x$ एवं परवलय $y^{2 }= 4x$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10दो वृत्तों $x^{2 }+ y^{2 }= 4$ एवं $(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= 4$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution