दर्शाइए कि सारणिक $\Delta$ = $\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x y & z x \\ x y & (x+z)^{2} & y z \\ x z & y z & (x+y)^{2} \end{array}\right| = 2xyz (x + y + z)^3$
EXAMPLE-32
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सारणिक में $R_1\rightarrow x R_1, R_2 \rightarrow y R_2, R_3 \rightarrow z R_3$ का प्रयोग करने और $xyz,$ से भाग करने पर हम प्राप्त करते हैं कि सारणिक
$ \Delta$ = $\frac{1}{x y z}$$ \left|\begin{array}{ccc} x(y+z)^{2} & x^{2} y & x^{2} z \\ x y^{2} & y(x+z)^{2} & y^{2} z \\ x z^{2} & y z^{2} & z(x+y)^{2} \end{array}\right|$
$C_1, C_2$ और $C_3$ से क्रमशः $x, y, z$ उभयनिष्ठ लेने पर,
$ \Delta = \frac{x y z}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2} & x^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2} & y^{2} \\ z^{2} & z^{2} & (x+y)^{2} \end{array}\right| $
$C_2 \rightarrow C_{2 }- C_1, C_3 \rightarrow C_{3 }- C_1,$ का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2}-y^{2} & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)^{2}-z^{2} \end{array}\right|$
अब $C_2$ और $C_3$ से $(x + y + z)$ उभयनिष्ठ लेने पर, प्राप्त सारणिक
$\Delta = (x + y + z)^2 \left|\begin{array}{ccc} (\mathrm{y}+z)^{2} & x-(y+z) & x-(y+z) \\ y^{2} & (x+z)-y & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)-z \end{array}\right|$
$R_1 \rightarrow R_{1 }- (R_{2 }+ R_3) $का प्रयोग करने पर हम निम्नलिखित सारणिक प्राप्त करते हैं
$ \Delta = (x + y + z)2 \left|\begin{array}{ccc} 2 y z & -2 z & -2 y \\ y^{2} & x-y+z & 0 \\ z^{2} & 0 & x+y-z \end{array}\right|$
$C_2 \rightarrow (C_{2 }+ \frac{1}{y} C_1$) और $C_3 \rightarrow(C_3 + \frac{1}{z} C_1)$ का प्रयोग करने पर प्राप्त सारणिक
$ \Delta = (x + y + z)^2 \left|\begin{array}{ccc} 2 y z & 0 & 0 \\ y^{2} & x+z & \frac{y^{2}}{z} \\ z^{2} & \frac{z^{2}}{y} & x+y \end{array}\right|$
$R_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर
$\Delta = (x + y + z)^2(2yz) [(x + z) (x + y) - yz] = (x + y + z)^2(2yz) (x^{2 }+ xy + xz)$
$= (x + y + z)^3(2xyz)$ प्राप्त होता है।
$ \Delta$ = $\frac{1}{x y z}$$ \left|\begin{array}{ccc} x(y+z)^{2} & x^{2} y & x^{2} z \\ x y^{2} & y(x+z)^{2} & y^{2} z \\ x z^{2} & y z^{2} & z(x+y)^{2} \end{array}\right|$
$C_1, C_2$ और $C_3$ से क्रमशः $x, y, z$ उभयनिष्ठ लेने पर,
$ \Delta = \frac{x y z}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2} & x^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2} & y^{2} \\ z^{2} & z^{2} & (x+y)^{2} \end{array}\right| $
$C_2 \rightarrow C_{2 }- C_1, C_3 \rightarrow C_{3 }- C_1,$ का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2}-y^{2} & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)^{2}-z^{2} \end{array}\right|$
अब $C_2$ और $C_3$ से $(x + y + z)$ उभयनिष्ठ लेने पर, प्राप्त सारणिक
$\Delta = (x + y + z)^2 \left|\begin{array}{ccc} (\mathrm{y}+z)^{2} & x-(y+z) & x-(y+z) \\ y^{2} & (x+z)-y & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)-z \end{array}\right|$
$R_1 \rightarrow R_{1 }- (R_{2 }+ R_3) $का प्रयोग करने पर हम निम्नलिखित सारणिक प्राप्त करते हैं
$ \Delta = (x + y + z)2 \left|\begin{array}{ccc} 2 y z & -2 z & -2 y \\ y^{2} & x-y+z & 0 \\ z^{2} & 0 & x+y-z \end{array}\right|$
$C_2 \rightarrow (C_{2 }+ \frac{1}{y} C_1$) और $C_3 \rightarrow(C_3 + \frac{1}{z} C_1)$ का प्रयोग करने पर प्राप्त सारणिक
$ \Delta = (x + y + z)^2 \left|\begin{array}{ccc} 2 y z & 0 & 0 \\ y^{2} & x+z & \frac{y^{2}}{z} \\ z^{2} & \frac{z^{2}}{y} & x+y \end{array}\right|$
$R_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर
$\Delta = (x + y + z)^2(2yz) [(x + z) (x + y) - yz] = (x + y + z)^2(2yz) (x^{2 }+ xy + xz)$
$= (x + y + z)^3(2xyz)$ प्राप्त होता है।
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