यदि $x, y, z$ विभिन्न हों और $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3} \end{array}\right| = 0,$ तो दर्शाइए कि $1 + xyz = 0$
EXAMPLE-15
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हमें ज्ञात है $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3} \end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3} \end{array}\right|$
$= (- 1)^2\left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right| (C_3 \leftrightarrow C_2 और तब C_{1 }\leftrightarrow C_{2 }$ के प्रयोग द्वारा$)$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right| (1 + xyz)$
$= (1 + xyz) \left|\begin{array}{lcc} 1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2} \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_2 - R_{1 }और R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ का प्रयोग करने पर$)$
$R_2$ से $(y - x)$ और $R_{3 }$ से$ (z - x)$ उभयनिष्ठ लेने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta (1 + xyz)(y - x)(z - x)\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x \end{array}\right|$
$= (1 + xyz)(y - x)(z - x)(z - y) C_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर) चूँकि $\Delta = 0$ और $x, y$ और $z$ सभी भिन्न हैं,
अतः $x - y \neq 0, y - z \neq 0, z - x \neq 0,$ से हमें $1 + xyz = 0$ प्राप्त होता है।
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3} \end{array}\right|$
$= (- 1)^2\left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right| (C_3 \leftrightarrow C_2 और तब C_{1 }\leftrightarrow C_{2 }$ के प्रयोग द्वारा$)$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right| (1 + xyz)$
$= (1 + xyz) \left|\begin{array}{lcc} 1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2} \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_2 - R_{1 }और R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ का प्रयोग करने पर$)$
$R_2$ से $(y - x)$ और $R_{3 }$ से$ (z - x)$ उभयनिष्ठ लेने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta (1 + xyz)(y - x)(z - x)\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x \end{array}\right|$
$= (1 + xyz)(y - x)(z - x)(z - y) C_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर) चूँकि $\Delta = 0$ और $x, y$ और $z$ सभी भिन्न हैं,
अतः $x - y \neq 0, y - z \neq 0, z - x \neq 0,$ से हमें $1 + xyz = 0$ प्राप्त होता है।
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