$x-$ अक्ष के ऊपर तथा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 8x$ एवं परवलय $y^{2 }= 4x$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
example-7
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वृत्त का दिया हुआ समीकरण $x^{2 }+ y^{2 }= 8x, (x - 4)^{2 }+ y^{2 }= 16$ के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। इस वृत्त का केंद्र बिंदु $(4, 0)$ है तथा त्रिज्या $4$ इकाई है। परवलय $y^{2 }= 4x$ के साथ इसके प्रतिच्छेद से प्राप्त होता है:
$x^{2 }+ 4x = 8x$
अथवा $x^{2 }- 4x = 0$
अथवा $ x(x - 4) = 0$
अथवा $ x = 0, x = 4$
इस प्रकार इन दो वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु $O(0, 0)$ एवं $x-$अक्ष से ऊपर $P(4, 4)$ हैं।
आकृति से $x-$अक्ष से उपर इन दोनों वक्रों के मध्य सम्मिलित क्षेत्र $\text{OPQCO}$ का क्षेत्रफल
$= ($क्षेत्र $\text{OCPO}$ का क्षेत्रफल$) + ($क्षेत्र $\text{PCQP}$ का क्षेत्रफल$)$
$=\int_{0}^{4} y d x+\int_{4}^{8} y d x$
$=2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x+\int_{4}^{8} \sqrt{4^{2}-(x-4)^{2}} d x$
$=2 \times \frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}+\int_{0}^{4} \sqrt{4^{2}-t^{2}} d t,$ जहाँ $x - 4 = t$
$=\frac{32}{3}+\left[\frac{t}{2} \sqrt{4^{2}-t^{2}}+\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \sin ^{-1} \frac{t}{4}\right]_{0}^{4}$
$=\frac{32}{3}+\left[\frac{4}{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \sin ^{-1} 1\right]=\frac{32}{3}+\left[0+8 \times \frac{\pi}{2}\right]=\frac{32}{3}+4 \pi=\frac{4}{3}(8+3 \pi)$
$x^{2 }+ 4x = 8x$
अथवा $x^{2 }- 4x = 0$
अथवा $ x(x - 4) = 0$
अथवा $ x = 0, x = 4$
इस प्रकार इन दो वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु $O(0, 0)$ एवं $x-$अक्ष से ऊपर $P(4, 4)$ हैं।
आकृति से $x-$अक्ष से उपर इन दोनों वक्रों के मध्य सम्मिलित क्षेत्र $\text{OPQCO}$ का क्षेत्रफल
$= ($क्षेत्र $\text{OCPO}$ का क्षेत्रफल$) + ($क्षेत्र $\text{PCQP}$ का क्षेत्रफल$)$
$=\int_{0}^{4} y d x+\int_{4}^{8} y d x$
$=2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x+\int_{4}^{8} \sqrt{4^{2}-(x-4)^{2}} d x$
$=2 \times \frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}+\int_{0}^{4} \sqrt{4^{2}-t^{2}} d t,$ जहाँ $x - 4 = t$
$=\frac{32}{3}+\left[\frac{t}{2} \sqrt{4^{2}-t^{2}}+\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \sin ^{-1} \frac{t}{4}\right]_{0}^{4}$
$=\frac{32}{3}+\left[\frac{4}{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \sin ^{-1} 1\right]=\frac{32}{3}+\left[0+8 \times \frac{\pi}{2}\right]=\frac{32}{3}+4 \pi=\frac{4}{3}(8+3 \pi)$
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