परवलय $x^{2 }= 4y$ और वृत्त $4x^{2 }+ 4y^{2 }= 9$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.2-1
Download our app for free and get started
दिए गए वृत्त का समीकरण $4x^{2 }+ 4y^{2 }= 9$ तथा परवलय का समीकरण $x^{2 }= 4y$ है। अब, दोनों वक्रों का मिलान,
$4(4y) + 4y^{2 }= 9 \Rightarrow 4y^{2 }+ 16y - 9 = 0$
$\Rightarrow y=\frac{-16 \pm \sqrt{256+144}}{2 \times 4}$$=\frac{-16 \pm \sqrt{400}}{8}=\frac{-16 \pm 20}{8}$$=\frac{1}{2},-\frac{9}{2}$
परन्तु $y > 0$, अतः दोनों वक्र मिलेंगे, जब $y = \frac{1}{2}$, अतः जब $x^{2 }= 4 \times \frac{1}{2} = 2$ जब $x = \pm \sqrt{2}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $($छायांकित क्षेत्र$)$
$=2 \int_{0}^{\sqrt{2}}\left(y_{2}-y_{1}\right) d x$
$=2\left\{\int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{9-4 x^{2}}{4}} d x-\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^{2}}{4} d x\right\}$
$=2 \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-x^{2}} d x-\frac{2}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}}$
$=2\left[\frac{x}{2} \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-x^{2}}+\frac{(3 / 2)^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{3 / 2}\right)\right]_{0}^{\sqrt{2}}$$-\frac{1}{6}\left[(\sqrt{2})^{3}-0\right]$
$=\left[x \sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{3}\right)\right]_{0}^{\sqrt{2}}$$-\frac{2 \sqrt{2}}{6}$
$=\left[\sqrt{2} \sqrt{\frac{9}{4}-2}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)\right]$$-\{0-0\}-\frac{2 \sqrt{2}}{6}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)-\frac{2 \sqrt{2}}{6}$$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)$
$=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) $ वर्ग इकाई
$4(4y) + 4y^{2 }= 9 \Rightarrow 4y^{2 }+ 16y - 9 = 0$
$\Rightarrow y=\frac{-16 \pm \sqrt{256+144}}{2 \times 4}$$=\frac{-16 \pm \sqrt{400}}{8}=\frac{-16 \pm 20}{8}$$=\frac{1}{2},-\frac{9}{2}$
परन्तु $y > 0$, अतः दोनों वक्र मिलेंगे, जब $y = \frac{1}{2}$, अतः जब $x^{2 }= 4 \times \frac{1}{2} = 2$ जब $x = \pm \sqrt{2}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $($छायांकित क्षेत्र$)$
$=2 \int_{0}^{\sqrt{2}}\left(y_{2}-y_{1}\right) d x$
$=2\left\{\int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{9-4 x^{2}}{4}} d x-\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^{2}}{4} d x\right\}$
$=2 \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-x^{2}} d x-\frac{2}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}}$
$=2\left[\frac{x}{2} \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-x^{2}}+\frac{(3 / 2)^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{3 / 2}\right)\right]_{0}^{\sqrt{2}}$$-\frac{1}{6}\left[(\sqrt{2})^{3}-0\right]$
$=\left[x \sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{3}\right)\right]_{0}^{\sqrt{2}}$$-\frac{2 \sqrt{2}}{6}$
$=\left[\sqrt{2} \sqrt{\frac{9}{4}-2}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)\right]$$-\{0-0\}-\frac{2 \sqrt{2}}{6}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)-\frac{2 \sqrt{2}}{6}$$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)$
$=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{9}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) $ वर्ग इकाई
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1परवलय $4y = 3x^2$ एवं रेखा $2y = 3x + 12$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2View Solutionसमाकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओं 2x + y = 4, 3x - 2y = 6 एवं x - 3y + 5 = 0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 3दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ एवं रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4View Solutionसमाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x| + |y| = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5दो वृत्तों $x^{2 }+ y^{2 }= 4$ एवं $(x - 2)^{2 }+ y^{2 }= 4$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6छेदक रेखा $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि वक्र $y^2 = 4x$ एवं $x^{2 }= 4y,$ रेखाओं $x = 0, x = 4, y = 4$ एवं $y = 0$ से घिरे वर्ग के क्षेत्रफल को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।View Solution
- 8वक्रों $(x - 1)^{2 }+ y^{2 }= 1$ एवं $x^{2 }+ y^{2 }= 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9वक्रों $y = x^{2}+ 2, y = x, x = 0$ एवं $x = 3$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज $\text{ABC}$, का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $A(2, 0), B(4, 5)$ एवं $C(6, 3)$ हैं।View Solution