सिद्ध कीजिए कि एक एकैकी फलन f : {1, 2, 3} $\rightarrow$ {1, 2, 3} अनिवार्य रूप से आच्छादक भी है।
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चूँकि f एकैकी है, इसलिए {1, 2, 3} के तीन अवयव f के अंतर्गत सहप्रांत {1, 2, 3} के तीन अलग-अलग अवयवों से क्रमशः संबंधित होंगे। अतः f आच्छादक भी है।
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निर्धारित कीजिए कि नीचे दिए गए प्रकार से परिभाषित संक्रिया $*$ से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
$Z^+$ में, संक्रिया $ *, a * b=a $ द्वारा परिभाषित
मान लीजिए कि $A = {1, 2, 3}$ है। तब सिद्ध कीजिए कि ऐसे संबंधों की संख्या चार है, जिनमें $(1, 2)$ तथा $(2, 3)$ हैं और जो स्वतुल्य तथा संक्रामक तो हैं किंतु सममित नहीं हैं।
यदि $ f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ तथा $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ फलन क्रमशः $f(x)=\cos x$ तथा $g(x)=3 x^{2}$ द्वारा परिभाषित है तो gof और fog ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए gof $\neq fog$.
सिद्ध किजिए कि f(1) = f(2) = 1 तथा x > 2 के लिए f(x) = x - 1 द्वारा प्रदत्त फलन f : $\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N},$ आच्छादक तो है किंतु एकैकी नहीं है।
सिद्ध कीजिए कि यदि $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ तथा $g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ आच्छादक हैं, तो $g o f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{C}$ भी आच्छादक है।