समुच्चय A = {1, 2, 3} से स्वयं तक सभी एकैकी फलन की संख्या ज्ञात कीजिए।
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{1, 2, 3} से स्वयं तक एकैकी फलन केवल तीन प्रतीकों 1, 2, 3 का क्रमचय है। अतः {1, 2, 3} से स्वयं तक के प्रतिचित्रों (Maps) की कुल संख्या तीन प्रतीकों 1, 2, 3 के क्रमचयों की कुल संख्या के बराबर होगी, जो कि 3! = 6 है।
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    सिद्ध कीजिए कि R में योग तथा गुणा साहचर्य द्विआधारी संक्रियाएँ हैं। परंतु व्यवकलन तथा भाग R में साहचर्य नहीं है।
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    सिद्ध कीजिए कि (a, b) $\rightarrow$ अधिकतम {a, b} द्वारा परिभाषित $\vee: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ तथा (a, b) $ \rightarrow$ निम्नतम {a, b} द्वारा परिभाषित $\wedge: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ द्विआधारी संक्रियाएँ हैं।
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    2. क्या संक्रिय $* $ क्रमविनिमेय है?
    3. क्या $* $ साहचर्य है?
    4. N में $* $ का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए?
    5. N के कौन से अवयव $* $ संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय हैं?
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    निर्धारित कीजिए कि नीचे दिए गए प्रकार से परिभाषित संक्रिया $*$ से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
    $Z^{+ }$ में, संक्रिया $ *, a * b=|a-b|$ द्वारा परिभाषित
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  • 5
    मान लीजिए कि f : {2, 3, 4, 5} $ \rightarrow$ {3, 4, 5, 9} और g : {3, 4, 5, 9} $ \rightarrow$ {7, 11, 15} दो फलन इस प्रकार हैं कि f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = f(5) = 5 और g (3) = g (4) = 7 तथा g (5) = g (9) = 11, तो gof ज्ञात कीजिए।
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  • 7
    मान लीजिए कि$ f : N \rightarrow R, f(x) = 4x^{2 }+ 12x + 15$ द्वारा परिभाषित एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f : N \rightarrow S,$ जहाँ $S, f$ का परिसर है, व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
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  • 8
    मान लीजिए कि f : $ \mathbf{N} \rightarrow \mathrm{Y}$, f(x) = 4x + 3, द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ Y = $y \in \mathbf{N}: y=4 x+3$ किसी x $\in \mathbf{N}$ के लिए सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। प्रतिलोम फलन भी ज्ञात कीजिए।
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  • 9
    मान लीजिए कि A किसी बालकों के स्कूल के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय है। दर्शाइए कि R = (a, b): a, b की बहन है द्वारा प्रदत्त संबंध एक रिक्त संबंध है तथा $\mathrm{R}^{\prime}=\{(a, b) : a$ तथा b की ऊँचाईयों का अंतर 3 मीटर से कम है द्वारा प्रदत्त संबंध एक सार्वत्रिक संबंध है।
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  • 10
    सिद्ध कीजिए कि f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त फलन f : $ \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, एकैकी तथा आच्छादक है।
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