मान लीजिए कि$ f : N \rightarrow R, f(x) = 4x^{2 }+ 12x + 15$ द्वारा परिभाषित एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f : N \rightarrow S,$ जहाँ $S, f$ का परिसर है, व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
example-25
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मान लीजिए कि $f$ के परिसर का $y$ एक स्वेच्छ अवयव है। इसलिए $y = 4x^2 + 12x + 15,$
जहाँ $x \in N.$ इसका तात्पर्य यह है कि $y = (2x + 3)^2 + 6.$ अतएव $x = \frac{((\sqrt{y-6})-3))}{2}.$
अब, एक फलन $g : S \rightarrow N, g(y) =\frac{((\sqrt{y-6})-3))}{2}$ द्वारा परिभाषित कीजिए।
इस प्रकार $g o f(x) = g(f(x)) = g \left(4 x^{2}+12 x+15\right) = g (2x + 3)^2 + 6)$
$= \frac{\left(\left(\sqrt{(2 x+3)^{2}+6-6}\right)-3\right)}{2} = \frac{(2 x+3-3)}{2} = x$
और $f o g(y) = f\left(\frac{((\sqrt{y-6})-3)}{2}\right) = \left(\frac{2((\sqrt{y-6})-3)}{2}+3\right)^{2} + 6$
$= ((\sqrt{y-6})-3+3))^{2} + 6 = (\sqrt{y-6})^{2} + 6 = y - 6 + 6 = y.$
अतः $go f=\mathrm{I}_{\mathrm{N}} $तथा $f o g=\mathrm{I}_{\mathrm{S}}$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f^{-1}=g$ है।
जहाँ $x \in N.$ इसका तात्पर्य यह है कि $y = (2x + 3)^2 + 6.$ अतएव $x = \frac{((\sqrt{y-6})-3))}{2}.$
अब, एक फलन $g : S \rightarrow N, g(y) =\frac{((\sqrt{y-6})-3))}{2}$ द्वारा परिभाषित कीजिए।
इस प्रकार $g o f(x) = g(f(x)) = g \left(4 x^{2}+12 x+15\right) = g (2x + 3)^2 + 6)$
$= \frac{\left(\left(\sqrt{(2 x+3)^{2}+6-6}\right)-3\right)}{2} = \frac{(2 x+3-3)}{2} = x$
और $f o g(y) = f\left(\frac{((\sqrt{y-6})-3)}{2}\right) = \left(\frac{2((\sqrt{y-6})-3)}{2}+3\right)^{2} + 6$
$= ((\sqrt{y-6})-3+3))^{2} + 6 = (\sqrt{y-6})^{2} + 6 = y - 6 + 6 = y.$
अतः $go f=\mathrm{I}_{\mathrm{N}} $तथा $f o g=\mathrm{I}_{\mathrm{S}}$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f^{-1}=g$ है।
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