मान लीजिए कि $\mathrm{Y}=\left\{n^{2}: n \in \mathrm{N}\right\} \subset \mathrm{N}$ है। फलन $f : \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{Y}$ जहाँ $f(n) = n^2$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
example-24
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$Y$ का एक स्वेच्छ अवयव $y, n^2$ के रूप का है जहाँ $n \in N.$
इसका तात्पर्य यह है कि $n = \sqrt{y}$ से $g(y)=\sqrt{y}$ द्वारा परिभाषित एक फलन $g: \mathrm{Y} \rightarrow \mathrm{N}$ प्राप्त होता है।
अब $ g of(n)=g\left(n^{2}\right)=\sqrt{n^{2}}=n$ और $f o g(y)=f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^{2}=y,$
जिससे प्रमाणित होता है कि $ go f=\mathrm{I}_{\mathrm{N}}$ तथा $f o g=\mathrm{I}_{\mathrm{Y}}$ है।
अतः $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f^{-1}=g.$
इसका तात्पर्य यह है कि $n = \sqrt{y}$ से $g(y)=\sqrt{y}$ द्वारा परिभाषित एक फलन $g: \mathrm{Y} \rightarrow \mathrm{N}$ प्राप्त होता है।
अब $ g of(n)=g\left(n^{2}\right)=\sqrt{n^{2}}=n$ और $f o g(y)=f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^{2}=y,$
जिससे प्रमाणित होता है कि $ go f=\mathrm{I}_{\mathrm{N}}$ तथा $f o g=\mathrm{I}_{\mathrm{Y}}$ है।
अतः $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f^{-1}=g.$
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