मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया $*, a * b=a$ तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
- $5 * 7, $ $ 20 * 16$
- क्या संक्रिय $* $ क्रमविनिमेय है?
- क्या $* $ साहचर्य है?
- N में $* $ का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए?
- N के कौन से अवयव $* $ संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय हैं?
Exercise-1.4-6
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N में एक द्विआधारी संक्रिया $ *, a * b=a$ तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है।
- $5 * 7=5$ तथा 7 का LCM = 35
तथा $20 * 16=20$ तथा 16 का LCM = 80 - हम जानते हैं कि
a तथा b का LCM = b तथा a का LCM
$\Rightarrow$ $ a * b=b * a, \forall a, b \in N$
अतः N में संक्रिया $a * b=a$ तथा b का LCM एक द्विआधारी क्रमविनिमय संक्रिया है। - प्रत्येक a, b, c $ \in $ N के लिए
$(a * b) * c$ = (a तथा b का LCM) $ * $ c = a, b तथा c का LCM
तथा $a *(b * c)$ = a $*$ (b तथा c का LCM ) = a, b तथा c का LCM
अतः (a $*$ b) $*$ c = a $*$ (b $*$ c), $\forall$ a, b, c $\in$ N
अतः N में संक्रिया a $*$ b = a तथा b का LCM एक द्विआधारी साहचर्य संक्रिया है। - हम जानते हैं कि
a तथा 1 का LCM = 1 तथा a का LCM = a,$\forall$ a $\in$ N
अतः N में संक्रिया $*$ का तत्समक अवयव है। - अवयव a $\in$ N संक्रिया $*$ के लिए व्युत्क्रमणीय होगा, यदि N में एक अवयव b इस प्रकार विद्यमान हो कि
$a * b=b * a=e$
जहाँ e = 1 अर्थात् a तथा b का LCM = b तथा a का LCM = 1
$\Rightarrow$ $ a=b=1$
अत : N में संक्रिया $*$ के सापेक्ष केवल 1 ही व्युत्क्रमणीय अवयव है।
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