उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो (1, 1, 0), (1, 2, 1) तथा (-2, 2, -1) तीन बिंदुओं से गुजरता है।
Exercise-11.3-6(2)
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दिए गए बिंदु (1, 1, 0), B(1, 2, 1) तथा C(-2, 2, -1) हैं।
सबसे पहले बिंदुओं के संरेखीय होने का परीक्षण करते हैं।
अर्थात् $\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & -1\end{array}\right|$
= 1(-2 - 2) - 1 (- 1 + 2) + 0 (2 + 4) = -5 $\neq$ 0
अतः तीनों बिंदु A, B तथा C संरेखीय नहीं हैं।
तीन बिंदुओं $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ तथा $\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है,
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{2} & y_{3}-y_{2} & z_{3}-z_{2} \end{array}\right|=0 $ $\Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 0 & -2 \end{array}\right|=0$
$\Rightarrow$ -2(x - 1) - 3(y - 1) + 3z = 0
$\Rightarrow$ -2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0
$\Rightarrow$ 2x + 3y - 3z - 5 = 0
$\Rightarrow$ 2x + 3y - 3z = 5
जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है।
सबसे पहले बिंदुओं के संरेखीय होने का परीक्षण करते हैं।
अर्थात् $\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & -1\end{array}\right|$
= 1(-2 - 2) - 1 (- 1 + 2) + 0 (2 + 4) = -5 $\neq$ 0
अतः तीनों बिंदु A, B तथा C संरेखीय नहीं हैं।
तीन बिंदुओं $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ तथा $\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है,
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{2} & y_{3}-y_{2} & z_{3}-z_{2} \end{array}\right|=0 $ $\Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 0 & -2 \end{array}\right|=0$
$\Rightarrow$ -2(x - 1) - 3(y - 1) + 3z = 0
$\Rightarrow$ -2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0
$\Rightarrow$ 2x + 3y - 3z - 5 = 0
$\Rightarrow$ 2x + 3y - 3z = 5
जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है।
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