वक्र y = $\sqrt{3 x-2}$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x - 2y + 5 = 0 के समांतर है।
Exercise-6.3-25
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दिए हुए वक्र का समीकरण है, y = $\sqrt{3 x-2}$
बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$ \frac{d y}{d x}$ = $ \frac{1}{2}$ $(3 x-2)^{\frac{1}{2}-1}$ $\cdot$3 = $\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}$
$\because$ रेखा का समीकरण 4x - 2y + 5 = 0
$\Rightarrow$ y = 2x + $ \frac{5}{2}$ (y = mx + c समीकरण के प्रकार का है)
$\therefore$ रेखा की प्रवणता m = 2 है।
अब, वक्र की स्पर्श रेखा, रेखा 4x - 2y + 5 = 0 के समांतर है। इसलिए
$\Rightarrow$ $\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}$ = 2 $\Rightarrow$ 3 = 4$ \sqrt{3 x-2} $
3x - 2 = $ \left(\frac{3}{4}\right)^{2} $ $\Rightarrow$ 3x - 2 = $\frac{9}{16}$
$\Rightarrow$ 3x = 2 + $\frac{9}{16}$ $\Rightarrow$ x = $ \frac{41}{48} $
अब, x = $ \frac{41}{48}$, y = $\sqrt{3 x-2}$ में रखने पर,
y = $\sqrt{3\left(\frac{41}{48}\right)-2}$ = $\sqrt{\frac{41}{16}-2}$
$ \sqrt{\frac{41-32}{16}}$ = $\sqrt{\frac{9}{16}}$ = $\frac{3}{4} $
$\therefore$ स्पर्श रेखा का समीकरण जो बिंदु $ \left(\frac{41}{48}, \frac{3}{4}\right)$ से होकर गुजरती है जिसकी प्रवणता 2 है, इस प्रकार दिया जाता है।
y - $ \frac{3}{4}$ = 2 $\left(x-\frac{41}{48}\right) $
$\Rightarrow$ y - $\frac{3}{4}$ = 2x - $\frac{41}{24} $ $\Rightarrow$ 48x - 24y = 23
अतः, आवश्यक स्पर्श रेखा का समीकरण 48x - 24y = 23 है।
बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$ \frac{d y}{d x}$ = $ \frac{1}{2}$ $(3 x-2)^{\frac{1}{2}-1}$ $\cdot$3 = $\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}$
$\because$ रेखा का समीकरण 4x - 2y + 5 = 0
$\Rightarrow$ y = 2x + $ \frac{5}{2}$ (y = mx + c समीकरण के प्रकार का है)
$\therefore$ रेखा की प्रवणता m = 2 है।
अब, वक्र की स्पर्श रेखा, रेखा 4x - 2y + 5 = 0 के समांतर है। इसलिए
$\Rightarrow$ $\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}$ = 2 $\Rightarrow$ 3 = 4$ \sqrt{3 x-2} $
3x - 2 = $ \left(\frac{3}{4}\right)^{2} $ $\Rightarrow$ 3x - 2 = $\frac{9}{16}$
$\Rightarrow$ 3x = 2 + $\frac{9}{16}$ $\Rightarrow$ x = $ \frac{41}{48} $
अब, x = $ \frac{41}{48}$, y = $\sqrt{3 x-2}$ में रखने पर,
y = $\sqrt{3\left(\frac{41}{48}\right)-2}$ = $\sqrt{\frac{41}{16}-2}$
$ \sqrt{\frac{41-32}{16}}$ = $\sqrt{\frac{9}{16}}$ = $\frac{3}{4} $
$\therefore$ स्पर्श रेखा का समीकरण जो बिंदु $ \left(\frac{41}{48}, \frac{3}{4}\right)$ से होकर गुजरती है जिसकी प्रवणता 2 है, इस प्रकार दिया जाता है।
y - $ \frac{3}{4}$ = 2 $\left(x-\frac{41}{48}\right) $
$\Rightarrow$ y - $\frac{3}{4}$ = 2x - $\frac{41}{24} $ $\Rightarrow$ 48x - 24y = 23
अतः, आवश्यक स्पर्श रेखा का समीकरण 48x - 24y = 23 है।
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