ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $16$ हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
Exercise-6.5-16
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मान लीजिए कि एक संख्या $x$ है और दूसरी संख्या $(16 - x)$ है।
इन संख्याओं के घनों का योग $S$ द्वारा दर्शाया जाता है।
तब $S = x^{3 }+ (16 - x)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d S}{d x} = 3x^{2 }+ 3(16 - x)^2(- 1) = 3x^2- 3 (16 - x)^2$
$\Rightarrow \frac{d^{2} S}{d x^{2}} = 6x + 6(16 - x) = 96$
न्यूनतम मान के लिए $\frac{d S}{d x} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 3x^2 - 3(16 - x)^2 = 0$
$\Rightarrow dx^{2 }- (256 + x^2 - 32x) = 0$
$\Rightarrow 32x = 256$
$\Rightarrow x = 8$
$\Rightarrow \left(\frac{d^{2} S}{d x^{2}}\right)_{x=8} = 96 > 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 8, S$ का स्थानीय न्यूनतम मान है। संख्याओं के घनों का योग निम्नतम होगा जब संख्या $8$ और $16 - 8 = 8$ होगी।
अतः आवश्यक संख्याएँ $8$ और $8$ हैं।
इन संख्याओं के घनों का योग $S$ द्वारा दर्शाया जाता है।
तब $S = x^{3 }+ (16 - x)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d S}{d x} = 3x^{2 }+ 3(16 - x)^2(- 1) = 3x^2- 3 (16 - x)^2$
$\Rightarrow \frac{d^{2} S}{d x^{2}} = 6x + 6(16 - x) = 96$
न्यूनतम मान के लिए $\frac{d S}{d x} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 3x^2 - 3(16 - x)^2 = 0$
$\Rightarrow dx^{2 }- (256 + x^2 - 32x) = 0$
$\Rightarrow 32x = 256$
$\Rightarrow x = 8$
$\Rightarrow \left(\frac{d^{2} S}{d x^{2}}\right)_{x=8} = 96 > 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 8, S$ का स्थानीय न्यूनतम मान है। संख्याओं के घनों का योग निम्नतम होगा जब संख्या $8$ और $16 - 8 = 8$ होगी।
अतः आवश्यक संख्याएँ $8$ और $8$ हैं।
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