सिद्ध कीजिए कि $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में $y = \frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)} - \theta, \theta$ का एक वर्धमान फलन है।
Exercise-6.2-9
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दिया है, $y = \frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}- \theta$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta}\left[\frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}-\theta\right]$
$y^{\prime} = \frac{(2+\cos \theta) \frac{d}{d \theta}(4 \sin \theta)-4 \sin \theta \frac{d}{d \theta}(2+\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{4 \cos \theta(2+\cos \theta)-4 \sin \theta(-\sin \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{8 \cos \theta+4 \cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{8 \cos \theta+4\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1 = \frac{8 \cos \theta+4}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{8 \cos \theta+4-(2+\cos \theta)^{2}}{(2+\cos \theta)^{2}} = \frac{8 \cos \theta+4-4-\cos ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}} - 4 \cos \theta$
$\therefore y^{\prime} = \frac{d y}{d \theta} = \frac{4 \cos \theta-\cos ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}} = \frac{\cos \theta(4-\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}}$
अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में, $\cos \theta > 0, \therefore 4 > \cos \theta$
$\Rightarrow(4 - \cos \theta) > 0$
$\therefore \cos \theta(4 - \cos \theta) \geq 0$ और $(2 + \cos \theta)^2 > 0$
$\Rightarrow \frac{\cos \theta(4-\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d \theta} \geq 0$
अतः, दिया गया फलन अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में वर्धमान है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta}\left[\frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}-\theta\right]$
$y^{\prime} = \frac{(2+\cos \theta) \frac{d}{d \theta}(4 \sin \theta)-4 \sin \theta \frac{d}{d \theta}(2+\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{4 \cos \theta(2+\cos \theta)-4 \sin \theta(-\sin \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{8 \cos \theta+4 \cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{8 \cos \theta+4\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1 = \frac{8 \cos \theta+4}{(2+\cos \theta)^{2}} - 1$
$= \frac{8 \cos \theta+4-(2+\cos \theta)^{2}}{(2+\cos \theta)^{2}} = \frac{8 \cos \theta+4-4-\cos ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}} - 4 \cos \theta$
$\therefore y^{\prime} = \frac{d y}{d \theta} = \frac{4 \cos \theta-\cos ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}} = \frac{\cos \theta(4-\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}}$
अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में, $\cos \theta > 0, \therefore 4 > \cos \theta$
$\Rightarrow(4 - \cos \theta) > 0$
$\therefore \cos \theta(4 - \cos \theta) \geq 0$ और $(2 + \cos \theta)^2 > 0$
$\Rightarrow \frac{\cos \theta(4-\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d \theta} \geq 0$
अतः, दिया गया फलन अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में वर्धमान है।
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