बिंदु $(0, c)$ से परवलय $y = x^2$की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जहाँ $\frac{1}{2} \leq c \leq 5$ है।
EXAMPLE-35
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मान लीजिए परवलय $y = x^{2 }$ पर $(h, k)$ कोई बिंदु है। मान लीजिए $(h, k)$ और $(0, c)$ के बीच दूरी $D$ है। तब
$D = \sqrt{(h-0)^{2}+(k-c)^{2}} = \sqrt{h^{2}+(k-c)^{2}} ...(1)$
क्योंकि $(h, k)$ परवलय $y = x^{2 }$ पर स्थित है अतः $k = h^{2 }$ है। इसलिए $(1)$ से
$D \equiv D(k) = \sqrt{k+(k-c)^{2}}$
या $D^{\prime}(k) = \frac{1+2(k-c)}{\sqrt{k+(k-c)^{2}}}$
अब $D^{\prime}(k) = 0$ से $k = \frac{2 c-1}{2}$ प्राप्त होता है
ध्यान दीजिए कि जब $k < \frac{2 c-1}{2},$ तब $2(k - c) + 1 < 0,$ अर्थात् $D^{\prime}(k) < 0$ है तथा जब
$k > \frac{2 c-1}{2}$
तब $2(k - c) + 1 > 0$ है अर्थात् $D^{\prime}(k) > 0 ($इस प्रकार प्रथम अवकलज परीक्षण से $k = \frac{2 c-1}{2}$ पर $k$ निम्नतम है। अतः अभीष्ट न्यूनतम दूरी
$D \left(\frac{2 c-1}{2}\right) $
$= \sqrt{\frac{2 c-1}{2}+\left(\frac{2 c-1}{2}-c\right)^{2}} $
$= \frac{\sqrt{4 c-1}}{2}$ है।
$D = \sqrt{(h-0)^{2}+(k-c)^{2}} = \sqrt{h^{2}+(k-c)^{2}} ...(1)$
क्योंकि $(h, k)$ परवलय $y = x^{2 }$ पर स्थित है अतः $k = h^{2 }$ है। इसलिए $(1)$ से
$D \equiv D(k) = \sqrt{k+(k-c)^{2}}$
या $D^{\prime}(k) = \frac{1+2(k-c)}{\sqrt{k+(k-c)^{2}}}$
अब $D^{\prime}(k) = 0$ से $k = \frac{2 c-1}{2}$ प्राप्त होता है
ध्यान दीजिए कि जब $k < \frac{2 c-1}{2},$ तब $2(k - c) + 1 < 0,$ अर्थात् $D^{\prime}(k) < 0$ है तथा जब
$k > \frac{2 c-1}{2}$
तब $2(k - c) + 1 > 0$ है अर्थात् $D^{\prime}(k) > 0 ($इस प्रकार प्रथम अवकलज परीक्षण से $k = \frac{2 c-1}{2}$ पर $k$ निम्नतम है। अतः अभीष्ट न्यूनतम दूरी
$D \left(\frac{2 c-1}{2}\right) $
$= \sqrt{\frac{2 c-1}{2}+\left(\frac{2 c-1}{2}-c\right)^{2}} $
$= \frac{\sqrt{4 c-1}}{2}$ है।
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