$x$ के सापेक्ष $e^x+ e^x + ... + e^{x^{5}}$ अवकलन कीजिए।
Exercise-5.4-6
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मान लीजिए $y = e^x+ e^x + ... + e^{x^{5}}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x} y = \frac{d}{d x}\left\{e^{x}+e^{x^{2}}+e^{x^{3}}+e^{x^{4}}+e^{x^{5}}\right\}$
$= \frac{d}{d x} \left(e^{x}\right)+ \frac{d}{d x}\left(e^{x^{2}}\right) + \frac{d}{d x} \left(e^{x^{3}}\right)+ \frac{d}{d x}\left(e^{x^{4}}\right)+ \frac{d}{d x}\left(e^{x^{5}}\right)$
$= e^{x} +e^{x^{2}} \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+ e^{x^{3}} \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) + e^{x^{4}} \frac{d}{d x} + \left(x^{4}\right) + e^{x^{5}} + \frac{d}{d x} \left(x^{5}\right) ($श्रृंखला नियम से$)$
$= e^{x} + e^{x^{2}}(2 x) + e^{x^{3}}\left(3 x^{2}\right) + e^{x^{4}}\left(4 x^{3}\right) + e^{x^{2}}\left(5 x^{4}\right)$
$= e^{x} + 2 x e^{x^{2}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 4 x^{3} e^{x^{4}} + x^{4} e^{x^{5}}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x} y = \frac{d}{d x}\left\{e^{x}+e^{x^{2}}+e^{x^{3}}+e^{x^{4}}+e^{x^{5}}\right\}$
$= \frac{d}{d x} \left(e^{x}\right)+ \frac{d}{d x}\left(e^{x^{2}}\right) + \frac{d}{d x} \left(e^{x^{3}}\right)+ \frac{d}{d x}\left(e^{x^{4}}\right)+ \frac{d}{d x}\left(e^{x^{5}}\right)$
$= e^{x} +e^{x^{2}} \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+ e^{x^{3}} \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) + e^{x^{4}} \frac{d}{d x} + \left(x^{4}\right) + e^{x^{5}} + \frac{d}{d x} \left(x^{5}\right) ($श्रृंखला नियम से$)$
$= e^{x} + e^{x^{2}}(2 x) + e^{x^{3}}\left(3 x^{2}\right) + e^{x^{4}}\left(4 x^{3}\right) + e^{x^{2}}\left(5 x^{4}\right)$
$= e^{x} + 2 x e^{x^{2}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 4 x^{3} e^{x^{4}} + x^{4} e^{x^{5}}$
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