$x$ के सापेक्ष $\sin(\tan^{-1} e^{-x})$ अवकलन कीजिए।
Exercise-5.4-4
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मान लीजिए $y = \sin(\tan^{-1} e^{-x})$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left[\sin \left(\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right]\right.$
$= \cos \left\{\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right\} \frac{d}{d x} \left\{\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right\} ($शृंखला नियम से$)$
$= \cos \left\{\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right\} \frac{1}{1+\left(e^{-x}\right)^{2}} \frac{d}{d x}\left(e^{-x}\right)$
$= \cos \left(\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) \frac{1}{1+e^{-2 x}} \cdot \left(-e^{-x}\right) = - \frac{e^{-x} \cos \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)}{1+e^{-2 x}}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left[\sin \left(\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right]\right.$
$= \cos \left\{\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right\} \frac{d}{d x} \left\{\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right\} ($शृंखला नियम से$)$
$= \cos \left\{\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right\} \frac{1}{1+\left(e^{-x}\right)^{2}} \frac{d}{d x}\left(e^{-x}\right)$
$= \cos \left(\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) \frac{1}{1+e^{-2 x}} \cdot \left(-e^{-x}\right) = - \frac{e^{-x} \cos \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)}{1+e^{-2 x}}$
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