यदि $A = \left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right]$ इस प्रकार है कि $A^2 = I,$ तो
Miscellaneous Exercise-13
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- दिया है,
$AB = BA^{. }...(i)$
हम सिद्ध करना चाहते हैं, $AB^{n }= B^n A ...(ii)$
$n = 1$ के लिए समी $(ii)$ स्पष्टतया सत्य है।
मान लीजिए समी $(ii)$ धनात्मक पूर्णांक $n = m$ के लिए सत्य है।
अर्थात् $AB^{m }= B^{m }A ...(iii)$
तब, $n = m + 1$ के लिए, $AB^{m + 1 }= AB^m B =(AB^m) B ($आव्यूह गुणनफल के साहचर्य नियम से$)$
$= (B^m A)B [$समी $(iii)$ के प्रयोग से$]$
$= B^m(AB) = B^m(BA) [$समी $(i)$ के प्रयोग से$]$
$= (B^mBA) = B^{m +1 }A$
अतः $n \in N,$ के सभी मान के लिए यह सत्य है। $($गणितीय आगमन के सिद्धांत से$)$ - यहाँ, दिया है, $AB = BA ...(i)$
हमें सिद्ध करना है, $(AB)^{n }= A^n B^{n }...(ii)$
$n = 1$ के लिए समी $(ii)$ स्पष्टतया सत्य है। $[ \because$ समी $(i)$ से$]$
मान लीजिए समी $(ii)$ धनात्मक पूर्णांक $n = m$ के लिए सत्य है।
अर्थात् $(AB)^{m }= A^m B^m$
तथा $n = m + 1$ के लिए, $(AB)^{m + 1 }= (AB)^{m }(AB) = A^m B^m(A B) [$समी $(iii)$ के प्रयोग से$]$
$= A^m(B^m A) B = A^{m }(AB^m) B (\because AB^n =B^nA, n \in N$ के लिए, जब $AB = BA)$
$= (A^m A) (B^m B) = A^{m + 1} B^{m + 1}$
अतः गणितीय आगमन के सिद्धंत से, $n \in N$ के सभी मानों के लिए यह सत्य है।
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