$x, y,$ तथा $z$ के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह$ A = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z\end{array}\right]$ समीकरण $A^{\prime}A = I$ को संतुष्ट करता है।
Miscellaneous Exercise-6
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दिया है,$ A^{\prime}A = 1$
$\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]^{\prime}$ $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]$ = I $\Rightarrow$$ \left[\begin{array}{ccc} 0 & x & x \\ 2 y & y & -y \\ z & -z & z \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc} 0+x^{2}+x^{2} & 0+x y-x y & 0-x z+x z \\ 0+y x-y x & 4 y^{2}+y^{2}+y^{2} & 2 y z-y z-y z \\ 0-z x+z x & 2 y z-y z-y z & z^{2}+z^{2}+z^{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $ \left[\begin{array}{ccc} 2 x^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 6 y^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 z^{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$2 x^2= 1, 6y^2= 1, 3z^2= 1$
$ \Rightarrow x^2= \frac{1}{2}, y^2= \frac{1}{6}, z^2= \frac{1}{3}$
$\Rightarrow x = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{6}}, z = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]^{\prime}$ $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]$ = I $\Rightarrow$$ \left[\begin{array}{ccc} 0 & x & x \\ 2 y & y & -y \\ z & -z & z \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc} 0+x^{2}+x^{2} & 0+x y-x y & 0-x z+x z \\ 0+y x-y x & 4 y^{2}+y^{2}+y^{2} & 2 y z-y z-y z \\ 0-z x+z x & 2 y z-y z-y z & z^{2}+z^{2}+z^{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $ \left[\begin{array}{ccc} 2 x^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 6 y^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 z^{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$2 x^2= 1, 6y^2= 1, 3z^2= 1$
$ \Rightarrow x^2= \frac{1}{2}, y^2= \frac{1}{6}, z^2= \frac{1}{3}$
$\Rightarrow x = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{6}}, z = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{3}}$
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