यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB - BA एक विषम सममित आव्यूह है।
Miscellaneous Exercise-4
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चूँकि यहाँ A तथा B सममित आव्यूह हैं, तो A$^{\prime}$ = A तथा B' = B$^{\prime}$
अब, (AB - BA)$^{\prime}$ = (AB)$^{\prime}$ - (BA)$^{\prime}$ [$\because$ (A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$ तथा (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$ A$^{\prime}$]
= B$^{\prime}$A$^{\prime}$ - A$^{\prime}$ B$^{\prime}$ = BA - AB ($\because$ B$^{\prime}$ = B तथा A$^{\prime}$ = A)
= - (AB - BA)
$\therefore$ (AB - BA)$^{\prime}$ = - (AB - BA)
अतः (AB - BA) एक विषम सममित आव्यूह है।
अब, (AB - BA)$^{\prime}$ = (AB)$^{\prime}$ - (BA)$^{\prime}$ [$\because$ (A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$ तथा (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$ A$^{\prime}$]
= B$^{\prime}$A$^{\prime}$ - A$^{\prime}$ B$^{\prime}$ = BA - AB ($\because$ B$^{\prime}$ = B तथा A$^{\prime}$ = A)
= - (AB - BA)
$\therefore$ (AB - BA)$^{\prime}$ = - (AB - BA)
अतः (AB - BA) एक विषम सममित आव्यूह है।
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