आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rr} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{rr} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$
Exercise-3.3-10(1)
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मान लीजिए A = $\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, तब A = P + Q
जहाँ, P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ तथा Q = $ \frac{1}{2}$ $\left(A-A^{\prime}\right)$
अब, P =$ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left(\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$
$\therefore$ P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{array}\right]^{\prime}$= $\left[\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{array}\right]$ = P ($\therefore$ P$^{\prime}$ = P, अतः P एक सममित आव्यूह है।)
इस प्रकार, P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, Q = $ \frac{1}{2}$$\left(A-A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$$ \left(\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]\right)$= $\frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$
$\therefore $ Q$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$ = - Q ($\because$ Q$^{\prime}$ = - Q, अतः Q एक विषम सममित आव्यूह है।)
इस प्रकार, Q =$ \frac{1}{2}$ $\left(A-A^{\prime}\right)$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार प्रदर्शित कर सकते हैं।
P + Q = $\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ = A
जहाँ, P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ तथा Q = $ \frac{1}{2}$ $\left(A-A^{\prime}\right)$
अब, P =$ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left(\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$
$\therefore$ P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{array}\right]^{\prime}$= $\left[\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{array}\right]$ = P ($\therefore$ P$^{\prime}$ = P, अतः P एक सममित आव्यूह है।)
इस प्रकार, P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, Q = $ \frac{1}{2}$$\left(A-A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$$ \left(\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]\right)$= $\frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$
$\therefore $ Q$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$ = - Q ($\because$ Q$^{\prime}$ = - Q, अतः Q एक विषम सममित आव्यूह है।)
इस प्रकार, Q =$ \frac{1}{2}$ $\left(A-A^{\prime}\right)$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार प्रदर्शित कर सकते हैं।
P + Q = $\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ = A
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