यदि $A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right] $है तो दर्शाइए कि $A^{3 }- 23A - 40I = O$
EXAMPLE-18
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हम जानते हैं कि $A^2 = A \cdot A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{llr} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{array}\right]$
इसलिए $A^3 = A A^2 = \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{lcr}19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63\end{array}\right]$
अब $A^3 - 23 A - 40 I = \left[\begin{array}{rrr} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{array}\right]- 23 \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right] - 40 \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] = O$
इसलिए $A^3 = A A^2 = \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{lcr}19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63\end{array}\right]$
अब $A^3 - 23 A - 40 I = \left[\begin{array}{rrr} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{array}\right]- 23 \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right] - 40 \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] = O$
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