यदि एक त्रिघात बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हैं, तो इस बहुपद के सभी गुणांक और अचर पद एक ही चिह्न के होते हैं।
Exercise-2.2-2(5)
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यदि एक घन बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हों, तो बहुपद के सभी गुणांक और अचर पद का चिन्ह समान होता है: मान लीजिए, तथा बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक हों, जहाँ $a, \beta, \gamma<0$
सभी शून्यों का गुणनफल $= - ($स्थिर पद$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta \gamma=\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}<0 (\because \alpha, \beta, \gamma<0 \Rightarrow \alpha \beta \gamma<0)$
$\Rightarrow \frac{d}{a} > 0$
$\Rightarrow d$ और $a$ के समान चिह्न हैं।
एक समय में दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= x$ का गुणांक $x^3 \div$ का गुणांक
$\alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma= \frac{c}{a}>0 (\because \alpha, \beta, \gamma<0 \Rightarrow \alpha \beta, \beta \gamma, \alpha \gamma>0 \Rightarrow \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma)$
$c$ और $a$ के चिन्ह समान हैं।
शून्यकों का योग $= - (x^2$ का गुणांक$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-b}{a}<0 (\because \alpha, \beta, \gamma<0 \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma<0)$
$\Rightarrow \frac{b}{a} > 0$
$\Rightarrow b$ और $a$ के समान संकेत हैं।
$\Rightarrow a, b, c$ और $d$ के समान चिह्न हैं।
सभी शून्यों का गुणनफल $= - ($स्थिर पद$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta \gamma=\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}<0 (\because \alpha, \beta, \gamma<0 \Rightarrow \alpha \beta \gamma<0)$
$\Rightarrow \frac{d}{a} > 0$
$\Rightarrow d$ और $a$ के समान चिह्न हैं।
एक समय में दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= x$ का गुणांक $x^3 \div$ का गुणांक
$\alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma= \frac{c}{a}>0 (\because \alpha, \beta, \gamma<0 \Rightarrow \alpha \beta, \beta \gamma, \alpha \gamma>0 \Rightarrow \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma)$
$c$ और $a$ के चिन्ह समान हैं।
शून्यकों का योग $= - (x^2$ का गुणांक$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-b}{a}<0 (\because \alpha, \beta, \gamma<0 \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma<0)$
$\Rightarrow \frac{b}{a} > 0$
$\Rightarrow b$ और $a$ के समान संकेत हैं।
$\Rightarrow a, b, c$ और $d$ के समान चिह्न हैं।
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