दिया है कि त्रिघात बहुपद $x^3 - 6x^2 + 3x + 10$ के शून्यक $a, a + b$ और $a + 2b$ के रूप के हैं, जहाँ $a$ और$ b,$ कोई वास्तविक संख्याएँ हैं। $a$ और $b$ के मान तथा साथ ही दिए हुए बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Exercise-2.4-2
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यह दिया गया है कि $a, a + b,$ और$ a + 2b, f(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 10$ के शून्यक हैं।
$\therefore$ शून्यों का योग = -$\frac{\text{Coefficient of} \ x}{\text{Coefficient of} \ x^{2}}$
$a + (a + b) + (a + 2b) = -\left(\frac{-6}{1}\right) = 6$
$3a + 3b = 6$
$a + b = 2$
$b = 2 - a$
और, शून्यकों का गुणनफल $= -\frac{\text{Constant term}}{\text{Coefficient of} \ x^{2}}$
a(a + b)(a + 2b) = $\frac{-10}{1}$
$\Rightarrow a(a + b)(a + 2b) = -10$
$\Rightarrow a [a + (2 - a)] [a + 2(2 - a)] = -10$
$\Rightarrow a \times 2 \times (a + 4 - 2a)= -10$
$\Rightarrow 2a(4 - a) = -10$
$\Rightarrow a(4 - a) = -5$
$\Rightarrow 4a - a^2 = -5$
$\Rightarrow a^2 - 4a - 5 = 0$
$\Rightarrow (a - 5) (a + 1) = 0$
$\Rightarrow a = 5, -1$
केस $I$
जब $a = 5:$
$b = 2 - a$
$\Rightarrow b = 2 - 5 = -3$
अतः, मूल हैं $a = 5, a + b = 2$ और$ a + 2b = 5 - 6 = -1$
केस $II:$
जब $a = - 1:$
$b = 2 - a$
$\Rightarrow b = 2 + 1 = 3$
अतः, मूल हैं $a = -1, a + b = -1 + 3 = 2$ और $a + 2b = -1 + 6 = 5$
इसलिए, या तो $a = -1$ और $b = 3$ या, $a = 5 $और $b = - 3$
किसी भी स्थिति में, बहुपद के शून्यक $5, 2$ और $-1$ हैं।
$\therefore$ शून्यों का योग = -$\frac{\text{Coefficient of} \ x}{\text{Coefficient of} \ x^{2}}$
$a + (a + b) + (a + 2b) = -\left(\frac{-6}{1}\right) = 6$
$3a + 3b = 6$
$a + b = 2$
$b = 2 - a$
और, शून्यकों का गुणनफल $= -\frac{\text{Constant term}}{\text{Coefficient of} \ x^{2}}$
a(a + b)(a + 2b) = $\frac{-10}{1}$
$\Rightarrow a(a + b)(a + 2b) = -10$
$\Rightarrow a [a + (2 - a)] [a + 2(2 - a)] = -10$
$\Rightarrow a \times 2 \times (a + 4 - 2a)= -10$
$\Rightarrow 2a(4 - a) = -10$
$\Rightarrow a(4 - a) = -5$
$\Rightarrow 4a - a^2 = -5$
$\Rightarrow a^2 - 4a - 5 = 0$
$\Rightarrow (a - 5) (a + 1) = 0$
$\Rightarrow a = 5, -1$
केस $I$
जब $a = 5:$
$b = 2 - a$
$\Rightarrow b = 2 - 5 = -3$
अतः, मूल हैं $a = 5, a + b = 2$ और$ a + 2b = 5 - 6 = -1$
केस $II:$
जब $a = - 1:$
$b = 2 - a$
$\Rightarrow b = 2 + 1 = 3$
अतः, मूल हैं $a = -1, a + b = -1 + 3 = 2$ और $a + 2b = -1 + 6 = 5$
इसलिए, या तो $a = -1$ और $b = 3$ या, $a = 5 $और $b = - 3$
किसी भी स्थिति में, बहुपद के शून्यक $5, 2$ और $-1$ हैं।
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