यदि एक त्रिघात बहुपद $x^3 + ax^2 - bx + c$ के तीनों शून्यक धनात्मक हैं, तो $a, b$ और $c$ में से कम से कम एक अवश्य ही ऋणेतर होगा।
Exercise-2.2-2(6)
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होने देना $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ बहुपद $ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक हों, जहाँ $\alpha, \beta, \gamma > 0$
सभी शून्यकों का गुणनफल $= - ($स्थिर पद$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta \gamma=\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}>0$
$\Rightarrow \frac{d}{a} < 0$
$\Rightarrow d$ और $a$ के अलग$-$अलग संकेत हैं।
एक समय में दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= x$ का गुणांक $\div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=d a>0 (\because \alpha, \beta, \gamma>0 \Rightarrow \alpha \beta, \beta \gamma, \alpha \gamma>0 \Rightarrow \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma)$
जिसका अर्थ है $c$ और $a$ के समान चिह्न हैं।
शून्यकों का योग $= - (x^2$ का गुणांक$) \div x^3$ का गुणांक
$\Rightarrow \frac{b}{a} < 0$
$\Rightarrow b$ और $a$ के अलग$-$अलग संकेत हैं।
केस $1:$ जब $a > 0, c > 0, b < 0$ और $d < 0$
केस $2:$ जब $a < 0, c < 0, b > 0$ और $d > 0$
$\therefore$ दोनों ही मामलों में दो गुणांक गैर$-$ऋणात्मक हैं।
सभी शून्यकों का गुणनफल $= - ($स्थिर पद$) \div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta \gamma=\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}>0$
$\Rightarrow \frac{d}{a} < 0$
$\Rightarrow d$ और $a$ के अलग$-$अलग संकेत हैं।
एक समय में दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= x$ का गुणांक $\div x^3$ का गुणांक
$\alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=d a>0 (\because \alpha, \beta, \gamma>0 \Rightarrow \alpha \beta, \beta \gamma, \alpha \gamma>0 \Rightarrow \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma)$
जिसका अर्थ है $c$ और $a$ के समान चिह्न हैं।
शून्यकों का योग $= - (x^2$ का गुणांक$) \div x^3$ का गुणांक
$\Rightarrow \frac{b}{a} < 0$
$\Rightarrow b$ और $a$ के अलग$-$अलग संकेत हैं।
केस $1:$ जब $a > 0, c > 0, b < 0$ और $d < 0$
केस $2:$ जब $a < 0, c < 0, b > 0$ और $d > 0$
$\therefore$ दोनों ही मामलों में दो गुणांक गैर$-$ऋणात्मक हैं।
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