त्रिघात बहुपद $6 x^{3}+\sqrt{2} x^{2}-10 x-4 \sqrt{2}$ का एक शून्यक $\sqrt{2}$ दिया है। इसके अन्य दो शून्यक ज्ञात कीजिए।
Exercise-2.4-3
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मान लीजिए f(x) = $6 x^{3}+\sqrt{2} x^{2}-10 x-4 \sqrt{2}$
अगर $\sqrt{2}$ f(x) का शून्य है, तो $(x-\sqrt{2})$f(x) का गुणनखंड होगा। तो, शेष प्रमेय द्वारा जब f(x) को $(x-\sqrt{2})$से विभाजित किया जाता है , भागफल द्विघात निकलता है।
अब हम बांटते हैं $6 x^{3}+\sqrt{2} x^{2}-10 x-4 \sqrt{2}$ द्वारा $(x-\sqrt{2})$
$\therefore$ f(x) = $(x-\sqrt{2})\left(6 x^{2}+7 \sqrt{2} x+4\right)$ (यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा)
= $(x-\sqrt{2})\left(6 x^{2}+4 \sqrt{2} x+3 \sqrt{2} x+4\right)$ (गुणन विधि द्वारा)
f(x) के शून्यकों के लिए f(x) = 0 रखें
$\therefore$ $(x-\sqrt{2})\left(6 x^{2}+4 \sqrt{2} x+3 \sqrt{2} x+4\right)$ = 0
$\Rightarrow$ $(x-\sqrt{2})$ $[2 x(3 x+2 \sqrt{2})+\sqrt{2}(3 x+2 \sqrt{2})]$ = 0
$\Rightarrow$ $(x-\sqrt{2})$ $(3 x+2 \sqrt{2})(2 x+\sqrt{2})$ = 0
$\Rightarrow$ $x-\sqrt{2}$ = 0 या $3 x+2 \sqrt{2}$ = 0 या $2 x+\sqrt{2}$ = 0
$\Rightarrow$ x = $\sqrt{2}$ या x = $\frac{-2 \sqrt{2}}{3}$ या x = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$
तो, अन्य दो जड़ें हैं $\frac{-2 \sqrt{2}}{3}$ तथा $\frac{-\sqrt{2}}{2}$
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